13. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Donnerstag, 14.7.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

58. Aufgabe: Sei K ein Körper. Beweise, daß der Polynomring K[T] ein Hauptidealbereich ist. (Hinweis: Der Beweis kann analog zu dem von (15.28) geführt werden. Zeige u.a., daß ein Ideal 0 ≠ I ⊆ K[T] von einem Polynom kleinsten Grades in I erzeugt wird.) (3)

59. Aufgabe: Sei f ∈ End_{K}(V) ein idempotenter Endomorphismus. Beweise:

a) λ ∈ K Eigenwert von f ⟹ λ ∈ {0, 1}

b) Untersuche, ob in a) auch die Umkehrung gilt

c) V = Eig(f, 0) ⊕ Eig(f, 1) (4)

60. Aufgabe: Sei M ∈ M_{2}(IR) eine symmetrische Matrix (d.h. ^{t}M = M) . Beweise:

a) Das charakteristische Polynom von M zerfällt in IR[T] in Linearfaktoren.

b) M ist ähnlich zu einer Diagonalmatrix . (3)

61. Aufgabe: Die Matrix M ∈ M_{4}(IR) besitze das charakteristische Polynom p_{M} = T^{4} − 7T^{3} + 17T^{2} − 17T + 6 . Berechne:

a) det(M^{2})  b) Sp(M^{3})  (3)

62. Aufgabe: Die Matrix M = (a_{ik}) ∈ M_{n}(IR) (n ≥ 2) sei definiert durch a_{ik} := 1 (∀ i, k = 1, 2, …, n) . Untersuche, ob M trigonalisierbar ist. (3)

*63. Aufgabe: V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V) . Beweise:

a) Ist f nilpotent, so ist 0 einziger EW von f .

b) Sei m ∈ IN. Gilt f^{m} = o und f^{m−1}(v) ≠ o für ein v ∈ V, so ist die Menge {v, f(v), f^{2}(v), …, f^{m−1}(v)} linear unabhängig.

c) Folgende Aussagen sind äquivalent:

i) f ist nilpotent. ii) Es gibt eine f–invariante Fahne (U_{i}) von V mit der zusätzlichen Eigenschaft f(U_{i}) ⊆ U_{i−1} für alle i = 1, 2, …, n iii) Es gibt eine Basis B von V, so daß M_{B}^{B}(f) eine strikt obere Dreiecksmatrix ist (d.h. es sind auch noch alle Hauptdiagonalelemente gleich 0 ) . (5*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: 26.7.2005, 8.30–11.30 Uhr