12. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Donnerstag, 7.7.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

52. Aufgabe: Sei M = ( \begin{matrix}−2 & 0 & 0 & 0 \\ −3 & −1 & 7 & −2 \\ 3 & 0 & −1 & 0 \\ 5 & 4 & −6 & 5 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(IR)

a) Berechne alle Eigenvektoren von M .

b) Bestimme, wenn möglich, eine Basis von IR^{4} , die aus Eigenvektoren von M besteht.

c) Untersuche, ob es eine Diagonalmatrix gibt, die zu M ähnlich ist. Wenn ja, gib diese Diagonalmatrix an. (5)

53. Aufgabe: Sei N = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(IR)

Bestimme alle Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von N . (4)

54. Aufgabe: Ist p = ∑_{i=0}^{s} a_{i}T^{i} ∈ K[T] ein Polynom in T mit Koeffizienten aus K, so kann man in dieses Polynom an Stelle von T Elemente aus K, Matrizen aus M_{n}(K) bzw. Endomorphismen eines K–Vektorraumes V einsetzen. Genauer gilt:

λ ∈ K ⟹ p(λ) := ∑_{i=0}^{s} a_{i}λ^{i} ∈ K (λ^{0} = 1_{K})

M ∈ M_{n}(K) ⟹ p(M) := ∑_{i=0}^{s} a_{i}M^{i} ∈ M_{n}(K) (M^{0} = E_{n})

f ∈ End_{K}(V) ⟹ p(f) := ∑_{i=0}^{s} a_{i}f^{i} ∈ End_{K}(V) (f^{0} = id_{V})

Beweise: Ist λ ∈ K Eigenwert eines Endomorphismus f ∈ End_{K}(V) , so ist p(λ) Eigenwert des Endomorphismus p(f) . (3)

55. Aufgabe: Sei M ∈ M_{2}(K) .

a) Beweise direkt für das charakteristische Polynom p_{M} = T^{2} − Sp(M) · T + det(M) . (Hinweis: Es darf insbesondere (20.13) nicht benutzt werden!)

b) Beweise: p_{M}(M) = O (Nullmatrix) (Zur Definition von p_{M}(M) s. Aufg. 54) (3)

56. Aufgabe: f : V ⟶ V sei ein Isomorphismus, und λ ∈ K sei ein Eigenwert von f . Beweise, daß λ ≠ 0 gilt und daß λ^{−1} ein Eigenwert von f^{−1} ist. (1)

*57. Aufgabe: Es sei A = A(IR, IR) der IR–Vektorraum aller Abbildungen von IR in IR . Für i ∈ IN sei die Abbildung f_{i} : IR ⟶ IR definiert durch f_{i}(x) = x^{i} (∀ x ∈ IR) . Ferner sei U := L_{IR}(f_{0}, f_{1}, …, f_{n}) der von B := {f_{0}, f_{1}, …, f_{n}} erzeugte Untervektorraum von A (U ist der Vektorraum aller “Polynomabbildungen vom Grade ≤ n”).

a) Beweise, daß B eine Basis von U ist.

b) Begründe mit Hilfe von a), daß der Vektorraum A unendlichdimensional ist.

c) Die Abbildung d : U ⟶ U sei definiert durch d(f) = f′ (Ableitung von f) für f ∈ U. Es ist bekannt, daß d ein IR–Endomorphismus von U ist. Beweise, daß d nilpotent ist, und bestimme die Darstellungsmatrix von d bzgl. B. Welchen Rang hat d? (4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: 26.7.2005, 8.30–11.30 Uhr