10. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Do, 23.6.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

42. Aufgabe: Sei ∇_{n}(K) ⊆ M_{n}(K) die Menge der oberen (n × n)–Dreiecksmatrizen über K (eine obere Dreiecksmatrix hat unterhalb der Haupdiagonale nur die Elemente 0). Beweise:

a) ∇_{n}(K) ist ein Untervektorraum von M_{n}(K) . Bestimme die Dimension von ∇_{n}(K) .

b) ∇_{n}(K) ist ein Unterring von M_{n}(K) .

c) Die Abbildung f : ∇_{n}(K) ⟶ K^{n} , definiert durch (a_{ik}) ⟼ (a_{ii})_{i=1,...,n} ist ein K– Epimorphismus. Bestimme den Kern von f und dessen Dimension.

d) Für A = (a_{ik}) ∈ ∇_{n}(K) gilt: rg(A) = n ⟺ ∏_{i=1}^{n} a_{ii} ≠ 0 . (5)

43. Aufgabe: a) Beweise, daß die Ähnlichkeitsrelation ≈ eine Äquivalenzrelation auf der Menge M_{n}(K) ist.

b) Bezeichne E_{n} ∈ M_{n}(K) die Einheitsmatrix und sei M := aE_{n} ∈ M_{n}(K) mit a ∈ K. Bestimme die Menge

[M] := {A | A ∈ M_{n}(K), A ≈ M}

aller zu M ähnlichen Matrizen aus M_{n}(K) .

c) Für M, N ∈ M_{n}(K) gilt: M ≈ N ⟹ M^{k} ≈ N^{k} für alle k ∈ IN .

d) Seien A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) zwei Matrizen über IR . Untersuche,

ob A und B äquivalent bzw. ähnlich zueinander sind.

e) Beweise (18.40) . (6)

44. Aufgabe: Für einen Ring R sei Z(R) := {a | a ∈ R , ax = xa ∀ x ∈ R} das “Zentrum” von R. Beweise:

a) Z(R) ist ein Unterring von R.

b) K Schiefkörper ⟹ Z(K) Unterkörper von K.

c) Z(M_{n}(K)) = {aE_{n}| a ∈ K} (Hierbei bezeichnet E_{n} die n–reihige Einheitsmatrix in M_{n}(K)) . (5)

*45. Aufgabe: Sei V ein K–Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum. Für v ∈ V sei die “Nebenklasse” [v]_{U} von v nach U definiert durch [v]_{U} := v + U . Ferner sei V/U := { [v]_{U} | v ∈ V } (V/U lies: “V nach U”). Beweise:

a) ∀ v, w ∈ V : [v]_{U} = [w]_{U} ⟺ v − w ∈ U .

b) Durch die Festsetzungen [v]_{U} +[w]_{U} := [v+w]_{U} und α[v]_{U} := [αv]_{U} werden eine Addition und eine skalare Multiplikation auf V/U definiert, so daß V/U zu einem K–Vektorraum wird.

Hinweis: Es ist als erstes zu überlegen, daß die Definitionen der Verknüpfungen unabhängig von der Auswahl der “Vertreter” v und w der jeweiligen Nebenklassen sind. Zeige dazu: [v]_{U} = [v′]_{U} und [w]_{U} = [w′]_{U} ⟹ [v + w]_{U} = [v′ + w′]_{U}

[v]_{U} = [v′]_{U} ⟹ [αv]_{U} = [αv′]_{U}

c) Sei V endlichdimensional. Konstruiere eine Basis von V/U und bestimme die Dimension von V/U .

d) Beweise, daß V/U zu einem direkten Komplement von U in V isomorph ist. Gib diesen Isomorphismus explizit an.

(4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris