§4 . Vektoren im Anschauungsraum

\underline{(4.1) SATZ:} Die Addition von Vektoren des Anschauungsraumes hat die folgenden Eigenschaften:

A_{0}) Je zwei Vektoren v⃗ und w⃗ wird ein eindeutig bestimmter Vektor v⃗ + w⃗ zugeordnet.

A_{1}) Für alle Vektoren u⃗, v⃗ und w⃗ gilt (u⃗ + v⃗) + w⃗ = u⃗ + (v⃗ + w⃗) (Assoziativgesetz)

A_{2}) Für alle Vektoren v⃗ und w⃗ gilt v⃗ +w⃗ = w⃗+v⃗ (Kommutativgesetz)

A_{3}) Es existiert ein Vektor o⃗ mit v⃗ +o⃗ = v⃗ für alle Vektoren v⃗ (Existenz eines Nullvektors)

A_{4}) Zu jedem Vektor v⃗ gibt es einen Vektor w⃗ mit v⃗ + w⃗ = o⃗ (Existenz von negativen Vektoren)

\underline{(4.2) SATZ:} Die Skalarmultiplikation von Vektoren des Anschauungsraumes mit reellen Zahlen hat die folgenden Eigenschaften:

SM_{0}) Jedem (Skalar) r ∈ IR und jedem Vektor v⃗ wird ein eindeutig bestimmter Vektor rv⃗ zugeordnet.

\begin{matrix}SM_{1}) r(v⃗ + w⃗) = rv⃗ + rw⃗ \\ SM_{2}) (r + s)v⃗ = rv⃗ + sv⃗ \\ SM_{3}) r(sv⃗) = (rs)v⃗ \\ SM_{4}) 1v⃗ = v⃗ \end{matrix} \} für alle v⃗, w⃗ ∈ A

und alle r, s ∈ IR \underline{(4.3) DEF:} Eine Menge V zusammen mit zwei Rechenoperationen + (Addition) und ·_{IR} (Skalarmultiplikation mit reellen Zahlen) heißt ein reeller Vektorraum oder Vektoraum über dem Körper der reellen Zahlen, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:

A_{0}) Je zwei Elementen v und w wird eine eindeutig bestimmte Summe v + w ∈ V zugeordnet

A_{1}) Für alle u, v, w ∈ V gilt (u+v)+w = u+(v+w) (Assoziativgesetz)

A_{2}) Für alle v, w ∈ V gilt v + w = w + v (Kommutativgesetz)

A_{3}) Es existiert o ∈ V mit v + o = v für alle v ∈ V (Existenz eines Nullelementes)

A_{4}) Zu jedem v ∈ V gibt es ein w ∈ V mit v + w = o (Existenz von negativen Elementen)

SM_{0}) Jedem r ∈ IR und jedem v ∈ V wird ein eindeutig bestimmtes Element rv ∈ V zugeordnet

\begin{matrix}SM_{1}) r(v + w) = rv + rw \\ SM_{2}) (r + s)v = rv + sv \\ SM_{3}) r(sv) = (rs)v \\ SM_{4}) 1 v = v \end{matrix} \} für alle v, w ∈ V

und alle r, s ∈ IR

Bezeichnungen und Bemerkungen:

Die Elemente eines Vektorraumes über IR heißen Vektoren , die Elemente aus IR Skalare. Das Element o ∈ V nach A_{3}) ist eindeutig bestimmt und heißt Nullvektor in V . Um Verwechslungen zu vermeiden, wird er manchmal auch mit o_{V} bezeichnet. Das zu v nach A_{4}) existierende Element w ∈ V mit v + w = o ist eindeutig bestimmt und heißt der zu v negative Vektor . Er wird mit −v bezeichnet. Außerdem setzt man v − w := v + (−w) für zwei Vektoren v, w ∈ V .