Chr.Nelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 5

21.10.2004

§ 2 Logik

Aussagenlogik

(2.1) DEF: Verknüpfungen von Aussagen

a) Disjunktion: A ∨ B

“A oder B”

(nicht ausschließendes “oder”)

A B A ∨ B
W W  W
W F  W
F W  W
F F  F
b) Konjunktion: A ∧ B

“A und B”

A B A ∧ B
W W  W
W F  F
F W  F
F F  F
c) Negation: ¬ A

“nicht A”

\begin{matrix}A & ¬ A \\ W & F \\ F & W \end{matrix}

d) Implikation: A ⟹ B

“wenn A, dann B” oder: ”aus A folgt B”

A B A ⟹ B
W W  W
W F  F
F W  W
F F  W

e) Äquivalenz: A ⟺ B “wenn A, dann B und umgekehrt” oder: “A genau dann, wenn B” oder: “A dann und nur dann, wenn B”

A B A ⟺ B
W W  W
W F  F
F W  F
F F  W

\underline{(2.2) DEF:} a) Eine logische Formel P heißt allgemeingültig, wenn sie nur den Wahrheitswert W annimmt.

b) Zwei logische Formeln P und Q heißen logisch äquivalent, wenn die Äquivalenz P ⟺ Q allgemeingültig ist.

\underline{(2.3) SATZ:} Formeln für ¬ , ∨ und ∧ P, Q und R seien beliebige logische Formeln. Dann sind die folgenden logischen Formeln allgemeingültig:

a) P ∨ (¬P) b) ¬(P ∧ ¬P) c) ¬(¬P) ⟺ P (√)

d) P ∧ Q ⟺ Q ∧ P , P ∨ Q ⟺ Q ∨ P (Kommutativgesetze)

e) (P ∧ Q) ∧ R ⟺ P ∧ (Q ∧ R) , (P ∨ Q) ∨ R ⟺ P ∨ (Q ∨ R) (Assoziativgesetze)

f) ¬(P ∧ Q) ⟺ (¬P) ∨ (¬Q) (√) , ¬(P ∨ Q) ⟺ (¬P) ∧ (¬Q) (A) (Regeln von de Morgan)

g) P ∧ (Q ∨ R) ⟺ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R) P ∨ (Q ∧ R) ⟺ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R) (Distributivgesetze) Ein Beweis wird mit Hilfe von Wahrheitstafeln geführt.

\underline{(2.4) SATZ:} Formeln für die Implikation P, Q und R seien beliebige logische Formeln. Dann sind die folgenden logischen Formeln allgemeingültig:

a) (P ⟺ Q) ⟺ [(P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ P)]

b) [(P ⟹ Q) ∧ (Q ⟹ R)] ⟹ (P ⟹ R) (Transitivität) (√)

c) (P ⟹ Q) ⟺ (¬P ∨ Q) (√)

d) (P ⟹ Q) ⟺ (¬Q ⟹ ¬P) (Kontraposition) (√)

e) (P ⟹ Q) ⟺ [(P ∧ ¬Q) ⟹ ¬P ] (√)

f) (P ⟹ Q) ⟺ [(P ∧ ¬Q) ⟹ Q]

g) (P ⟹ Q) ⟺ [(P ∧ ¬Q) ⟹ (R ∧ ¬R)]

Ein Beweis wird mit Hilfe von Wahrheitstafeln oder durch äquivalentes Umformen geführt. Etwa für (2.4b):

P Q R P⟹Q Q⟹R P⟹Q ∧ Q⟹R P⟹R (P⟹Q ∧ Q⟹R)

⟹(P⟹R)

W W W  W  W  W  W  W
W W F  W  F  F  F  W
W F W  F  W  F  W  W
W F  F  F  W  F  F  W
F W W  W  W  W  W  W
F W F  W  F  F  W  W
F  F W  W  W  W  W  W
F  F  F  W  W  W  W  W

Die Formeln e),f) und g) sind Grundlage für die indirekte Beweisführung.

\underline{(2.5) BEM:} Beispiele für eine indirekte Beweisführung:

a) a ∈ ZZ , a^{2} gerade ⟹ a gerade (√)

b) \sqrt{2} ist eine irrationale Zahl (√)

25.10.2004

c) Um die Implikation P ⟹ Q mit Hilfe eines indirekten Beweises nachzuweisen, nehmen wir das logische Gegenteil von Q an und leiten aus dieser Annahme einen Widerspruch her. Wir gehen also von P ∧¬Q aus und folgern daraus ¬P , Q oder R∧¬R für eine geeignete Aussage R. Auf Grund von (2.4e), f) bzw. g) ist dann die Implikation P ⟹ Q gültig.

Prädikatenlogik

Es sei A(x) ein Prädikat. Beim Einsetzen von Werten für x, die aus einem bestimmten Bereich stammen können, wird aus A(x) eine Aussage, die dann entweder wahr oder falsch ist.

\underline{(2.6) DEF:} (Quantoren)

Bezeichnung  Bedeutung
∀ x : A(x)  für alle x gilt A(x)
∀ x ∈ M : A(x) für alle Elemente x aus einer Menge M gilt A(x)
∃ x : A(x)  es gibt ein x, für das A(x) gilt
∃ x ∈ M : A(x) es gibt ein Element x aus einer Menge M , für das A(x) gilt

\underline{(2.7) SATZ:} Negation von Formeln mit ∀ und ∃

a) ¬( ∀ x : A(x) ) ⟺ ( ∃ x : ¬A(x) )
b) ¬( ∃ x : A(x) ) ⟺ ( ∀ x : ¬A(x) )