Chr.Nelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1

§ 13 Die Dimension eines Vektorraumes

(13.1) AUSTAUSCHLEMMA

Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} ⊆ V eine Basis des Vektorraumes V . Für einen Vektor w ∈ V gelte

w = α_{1}v_{1} + … + α_{j}v_{j} + … + α_{n}v_{n} (α_{i} ∈ IR) mit α_{j} ≠ 0 für ein j ∈ {1, 2, …, n}

Dann ist auch die Menge

C := {v_{1}, …, v_{j−1}, w, v_{j+1}, …, v_{n}}

eine Basis von V .

Der j–te Vektor aus B wird gegen den Vektor w ausgetauscht. Ist also B eine Basis von V und ist w ≠ o_{V}, so läßt sich ein geeigneter Vektor aus B gegen diesen Vektor w austauschen. Es lassen sich sogar simultan geeignete Vektoren aus B durch die Vektoren einer beliebig vorgegebenen linear unabhängigen Teilmenge von V ersetzen, so daß wieder eine Basis von V entsteht. Dies ist die Aussage des folgenden Satzes:

\underline{\underline{(13.2) AUSTAUSCHSATZ von STEINITZ}} (Ernst Steinitz, 1871–1929)

Sei B = {v_{1}, …, v_{n}} ⊆ V eine Basis des Vektorraumes V und T = {w_{1}, …, w_{m}} ⊆ V eine linear unabhängige Teilmenge von V . Dann lassen sich m geeignete Vektoren v_{i_{1}}, …, v_{i_{m}} aus B gegen die Vektoren w_{1}, …, w_{m} aus T austauschen, so daß wieder eine Basis von V entsteht. Insbesondere gilt m ≤ n.

\underline{(13.3) FOLG:} Besitzt ein Vektorraum V eine Basis aus n Elementen, so hat jede linear unabhängige Teilmenge von V höchstens n Elemente.

\underline{\underline{(13.4) SATZ:}} V sei ein endlich erzeugbarer Vektorraum. Dann gilt:

a) V besitzt eine endliche Basis.

b) Jede Basis von V ist endlich

c) Je zwei Basen von V haben gleichviel Elemente.

\underline{\underline{(13.5) DEF:}} V sei ein Vektorraum über IR.

a) Besitzt V eine endliche Basis B, so heißt die Anzahl |B| der Elemente von B die Dimension von V , in Zeichen |B| =: dim_{IR}(V ).

b) Besitzt V eine endliche Basis B, so heißt V endlich– dimensional, anderenfalls unendlich–dimensional, in Zeichen dim_{IR}(V ) = ∞.

Auf Grund von (13.4) ist die Dimension von V unabhängig von der ausgewählten Basis, da alle Basen von V gleichviele Elemente haben.

\underline{(13.6) BEISPIELE:} a) Der Anschauungsraum hat die Dimension 3 .

b) dim_{IR}(IR^{3}) = |E_{3}| = 3 , dim_{IR}(IR^{2}) = 2 , dim_{IR}(IR) = 1

c) dim_{IR}(IR^{n}) = n , da |E_{n}| = n (12.11a) .

d) dim_{IR}(M_{m,n}(IR)) = m · n , dim_{IR}(M_{n}(IR)) = n^{2} (12.11c)

e) Der Vektorraum der symmetrischen (2 × 2)–Matrizen hat die Dimension 3 (Aufg. 42a) . Der Vektorraum der symmetrischen (n×n)–Matrizen (n ≥ 1) hat die Dimension \frac{1}{2}n(n+1) (Aufgabe 42b) .

f) Sei A ∈ M_{m,n}(IR). Dann hat der Lösungsraum L_{0} ⊆ IR^{n} des homogenen linearen Gleichungssystem Ax = o_{m} die Dimension n − rg(A) (10.26) .

g) V sei ein Vektorraum: dim_{IR}(V ) = 0 ⟺ V = O.

h) dim_{IR}(F_{0}(IR)) = ∞ (vgl. (12.11h)).

\underline{BEM:} Man kann den Dimensionsbegriff auch auf den Fall nicht endlich erzeugbarer Vektorräume erweitern: Zwei Basen B und B′ eines Vektorraumes V haben immer “dieselbe Mächtigkeit” oder “dieselbe Kardinalzahl”, d.h. es gibt eine bijektive Abbildung B ⟶ B′. Im endlichen Falle bedeutet dies gerade |B| = |B′|. Als Dimension eines Vektorraumes V definiert man dann die Mächtigkeit einer beliebigen Basis von V . Im Beispiel (12.11d) ist damit die Dimension von F_{0}(IR) die Kardinalzahl der Basis E = {ε_{i}|i ∈ IN}, also dim_{IR}(F_{0}(IR)) = card(IN) = ℵ_{0}.

\underline{(13.7) SATZ:} Sei V ein Vektorraum mit dim_{IR}(V ) = n. Dann gilt

a) Jede linear unabhängige Teilmenge von V hat höchstens n Elemente.

b) Jede linear unabhängige Teilmenge von V mit genau n Elementen ist eine Basis von V .

c) Jedes Erzeugendensystem von V hat mindestens n Elemente.

d) Jedes Erzeugendensystem von V mit genau n Elementen ist eine Basis von V .

(13.8) BASISERGÄNZUNGSSATZ

V sei ein endlich–dimensionaler Vektorraum , und E sei ein endliches Erzeugendensystem von V . Dann läßt sich jede linear unabhängige Teilmenge T ⊆ V durch Hinzunahme geeigneter Vektoren aus E zu einer Basis von V ergänzen .

\underline{(13.9) FOLG:} V sei ein endlich–dimensionaler Vektorraum und U ⊆ V ein Untervektorraum . Dann gilt:

a) U ist endlich–dimensional und dim_{IR}(U) ≤ dim_{IR}(V ) .

b) Jede Basis von U läßt sich zu einer Basis von V ergänzen.

c) dim_{IR}(U) = dim_{IR}(V ) ⟹ U = V .

\underline{(13.10) FOLG:} V sei ein endlich–dimensionaler Vektorraum . Zu jedem Untervektorraum U von V gibt es einen Untervektorraum U′ von V mit

U + U′ = V und U ∩ U′ = O

U′ ist i. a. nicht eindeutig bestimmt.

\underline{(13.11) DEF:} V sei ein Vektorraum, U_{1} und U_{2} seien Untervektorräume von V . Dann heißt V die direkte Summe von U_{1} und U_{2} (in Zeichen: V = U_{1} ⊕ U_{2}) , wenn gilt

V = U_{1} + U_{2} und U_{1} ∩ U_{2} = O

\underline{Bezeichnungen:} Gilt V = U_{1} ⊕ U_{2} , so heißt U_{1} (und auch U_{2}) ein direkter Summand von V und U_{2} ein direktes Komplement von U_{1} .

\underline{(13.12) LEMMA:} V sei ein Vektorraum, und U_{1} und U_{2} seien Untervektorräume von V . Dann sind folgende Aussagen äquivalent :

a) V = U_{1} ⊕ U_{2}

b) Jeder Vektor v ∈ V läßt sich eindeutig in der Form v = u_{1}+u_{2} mit u_{1} ∈ U_{1} , u_{2} ∈ U_{2} darstellen.

\underline{(13.13) LEMMA:} V sei ein endlich–dimensionaler Vektorraum . U_{1} und U_{2} seien Untervektorräume von V mit V = U_{1} ⊕ U_{2}. Dann gilt:

a) Sind B_{1} eine Basis von U_{1} und B_{2} eine Basis von U_{2}, so ist B := B_{1} ∪ B_{2} eine Basis von V .

b) dim_{IR}(V ) = dim_{IR}(U_{1}) + dim_{IR}(U_{2}) .

\underline{(13.14) DEF:} V sei Vektorraum , U_{1}, …, U_{s} seien Untervektorräume von V . Dann heißt V die direkte Summe von U_{1}, …, U_{s}, (in Zeichen: V = U_{1} ⊕ … ⊕ U_{s} = ⨁_{i=1}^{s} U_{i}) , wenn gilt:

i) V = ∑_{i=1}^{s} U_{i}

ii) ( ∑_{\begin{matrix}i = 1 \\ i ≠ k \end{matrix}}^{s} U_{i}) ∩ U_{k} = O ∀ k = 1, 2, …, s

\underline{(13.15) SATZ:} V sei ein endlich–dimensionaler Vektorraum , U_{1}, …, U_{s} seien Untervektorräume von V mit V = ⨁_{i=1}^{s} U_{i}. Dann gilt:

a) Ist B_{i} eine Basis von U_{i} für alle i = 1, 2, …, s, so ist B := ⋃_{i=1}^{s} B_{i} eine Basis von V .

b) dim_{IR}(V ) = ∑_{i=1}^{s} dim_{IR}(U_{i}) .

\underline{(13.16) SATZ:}

Dimension der Summe zweier Unterräume

V sei ein endlich–dimensionaler Vektorraum , U_{1} und U_{2} seien Untervektorräume von V . Dann gilt:

dim_{IR}(U_{1} + U_{2}) = dim_{IR}(U_{1}) + dim_{IR}(U_{2}) − dim_{IR}(U_{1} ∩ U_{2}) .