Chr.Nelius : Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1

§ 12 Erzeugendensysteme und Basen von Vektorräumen

\underline{(12.1) DEF:} V sei ein Vektorraum über IR .

a) Eine Teilmenge E ⊆ V heißt ein Erzeugendensystem (abgekürzt EZS) von V , wenn gilt

L_{IR}(E) = V

b) V heißt endlich erzeugbar , wenn V ein \underline{endliches} Erzeugendensystem besitzt.

\underline{(12.2) BEM:} a) Ist E ein EZS von V , so läßt sich \underline{jeder} Vektor aus V als Linearkombination von endlich vielen Vektoren aus E darstellen (nicht notwendig eindeutig) .

b) Es gilt immer L_{IR}(V ) = V (d.h.V ist ein EZS von V ) .

c) Ist E ein EZS von V , so ist auch jede Teilmenge F mit E ⊆ F ⊆ V ein EZS von V .

d) Ist V endlich erzeugbar , so muß nicht jedes EZS von V endlich sein.

e) L_{IR}(∅) = {o_{V} } = L_{IR}(o_{V}) .

\underline{(12.3) BEISPIELE:} a) Die Menge der \underline{Einheitsvektoren} im IR^{n} ist ein (endliches) EZS von IR^{n}, IR^{n} ist also endlich erzeugbar.

b) Die Menge der \underline{Basismatrizen} ist ein (endliches) EZS von M_{m,n}(IR), d.h. M_{m,n}(IR) ist endlich erzeugbar .

c) Die Menge E der Folgen ε_{i} (i ∈ IN \ {0}) aus F_{0}(IR), die die Glieder δ_{ik} an der k–ten Stelle haben, ist ein (unendliches) EZS des Vektorraumes F_{0}(IR) .

d) Der Vektorraum F_{0}(IR) ist \underline{nicht} endlich erzeugbar.

\underline{(12.4) LEMMA:} Seien E ⊆ V , v ∈ V \ E und F := E ∪ \{v\}. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) L_{IR}(F) = L_{IR}(E) b) v ∈ L_{IR}(E) .

\underline{(12.5) SATZ:} Sei T = \{v_{1}, v_{2}, …, v_{n}\} ⊆ V eine \underline{endliche} Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) T ist linear abhängig.

b) Es gibt ein k ∈ {1, 2, …, n} mit v_{k} ∈ L_{IR}(v_{1}, …, v̂_{k}, …, v_{n}) .

\underline{(12.6) FOLG:} Eine endliche Teilmenge T ⊆ V ist genau dann linear unabhängig , wenn sich \underline{kein} Vektor aus T als Linearkombination der übrigen Vektoren aus T darstellen läßt.

\underline{(12.7) DEF:} Seien V ein Vektorraum und T ⊆ V eine beliebige Teilmenge.

a) T heißt linear abhängig, wenn gilt

i) T ≠ ∅
ii) Es gibt ein v ∈ T mit v ∈ L_{IR}(T \ {v}) .

b) T heißt linear unabhängig, wenn T nicht linear abhängig ist.

\underline{(12.8) BEM:}

a)

T linear abhängig ⟺ es gibt ein v ∈ T und (endlich viele) Vektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ T \ {v} mit v ∈ L_{IR}(v_{1}, …, v_{n})

⟺ es gibt eine endliche linear abhängige Teilmenge von T
b) T linear unabhängig  ⟺ entweder T = ∅ oder ∀ v ∈ T : v ∉ L_{IR}(T \ {v}) .
⟺ jede endliche Teilmenge von T ist linear unabhängig .
c) Im Falle einer endlichen Menge stimmt die obige Definition mit der früheren überein
d) Enthält eine Teilmenge T ⊆ V den Nullvektor, so ist T linear abhängig .
(Es gilt dann nämlich o_{V} ∈ L_{IR}(T \ {o_{V} }) )
e) T = {v}:
T linear unabhängig  ⟺ v ∉ L_{IR}(T \ {v}) = {o_{V} } ⟺ v ≠ o_{V}
T linear abhängig  ⟺ v = o_{V}

\underline{(12.9) BEISPIEL:} Die unendliche Menge E := \{ ε_{i} | i ∈ IN \ \{0\} \} ⊆ F_{0}(IR) ist linear unabhängig (s. (12.3c) )

Ein linear unabhängiges EZS E eines Vektorraumes läßt sich nach (12.4) nicht mehr verkleinern. Sonst müßte ein Vektor aus E eine Linearkombination von anderen Vektoren aus E sein. Wir kommen jetzt zu einer ganz wichtigen Definition:

\underline{(12.10) DEF:} V sei ein Vektorraum über dem Körper IR. Eine Teilmenge B ⊆ V heißt eine Basis von V , wenn gilt:

i) B ist linear unabhängig und

ii) B ist ein Erzeugendensystem von V .

\underline{(12.11) BEISPIELE:} a) Die Menge E_{n} := \{e_{1}, …, e_{n}\} aus den Einheitsvektoren des IR^{n} ist eine Basis von IR^{n}. Sie wird die kanonische Basis von IR^{n} genannt. E_{n} ist nach (11.8c) linear unabhängig und nach (12.3a) ein EZS von IR^{n}. Es gilt |E_{n}| = n.

b) Die Teilmengen E_{3} = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} )\} , \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\} ,

\{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} )\} sind alles Basen von IR^{3} (leichtes Nachprüfen!) . Ein Vek-

torraum hat also i.a. mehrere Basen. Es gilt sogar, daß IR^{3} unendlich viele Basen besitzt. Später werden wir sehen, daß \underline{jede} Basis von IR^{3} genau 3 Elemente enthält.

c) Die Menge { E_{ik} | i = 1, …, m , k = 1 …, n } der Basismatrizen ist eine Basis des Vektorraumes M_{m,n}(IR) (EZS nach (12.3b), linear unabhängig nach den Übungen) . Sie hat m · n Elemente.

d) E := { ε_{i} | i ∈ IN \ {0} } ⊆ F_{0}(IR) ist eine (unendliche) Basis von F_{0}(IR) (linear unabhängig nach (12.9) und EZS nach (12.3c) ) . Eine endliche Basis von F_{0}(IR) kann es nicht geben, da sonst F_{0}(IR) im Widerspruch zu (12.3d) endlich erzeugbar wäre.

e) ∅ ist eine Basis des Nullraumes O = {o_{V} }.

\underline{(12.12) LEMMA:} T ⊆ V sei linear unabhängig und v ∈ V \ T . Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) T ∪ {v} ist linear unabhängig

b) v ∉ L_{IR}(T) .

\underline{(12.13) SATZ:} Für eine Teilmenge B ⊆ V eines Vektorraumes V sind folgende Aussagen äquivalent:

a) B ist eine Basis von V .

b) B ist eine maximale linear unabhängige Teilmenge von V (d.h. B ist linear unabhängig und jede echte Obermenge von B ist linear abhängig).

c) B ist ein minimales Erzeugendensystem von V (d.h. B ist ein EZS von V und keine echte Teilmenge von B ist ein EZS von V ) .

Wir werden im folgenden in erster Linie nur noch \underline{endlich erzeugbare} Vektorräume untersuchen. Solche Vektorräume haben immer eine endliche Basis.

\underline{(12.14) SATZ:} Ist E ein endliches Erzeugendensystem eines Vektorraumes V , so enthält E eine (endliche) Basis von V .

\underline{(12.15) FOLG:} Jeder endlich erzeugbare Vektorraum besitzt eine (endliche) Basis .

\underline{(12.16) BEM:} Der Vektorraum F_{0}(IR) ist zwar nicht endlich erzeugbar (12.3d), besitzt aber trotzdem eine (unendliche) Basis (12.11d) . Mit transfiniten Methoden (ZORNsches LEMMA), die hier nicht behandelt werden können, läßt sich beweisen, daß \underline{jeder} Vektorraum eine Basis besitzt .

\underline{(12.17) SATZ:} Eine Teilmenge T = \{v_{1}, …, v_{n}\} ⊆ V ist genau dann linear unabhängig , wenn sich jeder Vektor aus L_{IR}(T) in eindeutiger Weise als Linearkombination von v_{1}, …, v_{n} darstellen läßt .

\underline{(12.18) FOLG:} Eine Teilmenge B = \{v_{1}, …, v_{n}\} ist genau dann eine Basis von V , wenn sich \underline{jeder} Vektor aus V in \underline{eindeutiger Weise} als Linearkombination von v_{1}, …, v_{n} darstellen läßt.

\underline{(12.19) LEMMA:} Sei T ⊆ V eine endliche Teilmenge und B eine maximale linear unabhängige Teilmenge von T. Dann ist B eine (endliche) Basis des Untervektorraumes L_{IR}(T) .