Chr. Nelius: Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1 \underline{(10.27) BEISPIEL:} für den Entzerrungsalgorithmus (modifizierter Gauß-Algorithmus) Vorgelegt sei das LGS Ax = b mit

(A|b) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & −1 \\ 3 & 6 & 1 & 4 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & 2 & 4 & −1 & −2 \end{matrix} )

Bringe (A|b) durch elementare Zeilenumformungen auf Treppenform

(T (A), b′) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} )

Füge Nullzeilen geeignet ein

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

Ersetze 0 in der Hauptdiagonale durch −1

( \begin{matrix}1 & 2 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & −1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & −1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \end{matrix} )

\begin{matrix}↑ & ↑ & ↑ \\ v_{1} & v_{2} & u \end{matrix}

Die Lösungsmenge ist

Lös(A, b) = { u + t_{1}v_{1} + t_{2}v_{2} | t_{1}, t_{2} ∈ IR }

= \{( \begin{matrix}1 + 2t_{1} + t_{2} \\ −t_{1} \\ −1 + t_{2} \\ −t_{2} \\ 2 \end{matrix} ) | t_{1}, t_{2} ∈ IR \}

Dabei bilden v_{1}, v_{2} eine Basis des Lösungsraumes des zugehörigen homogenen LGS’s Ax = o_{5} , und u ist eine spezielle Lösung von Ax = b.