Lineare Algebra I (WS 2004/05)

Lösungen 9. Übung

29. Aufgabe: (2+2+2P)

a) Wir addieren das Zweifache der ersten Zeile auf die letzte Zeile:

x_{1} + 4x_{2} + 3x_{3} = 21
x_{2} + 3x_{3} = 5
4x_{2} + 33x_{3} = 62.

Wir subtrahieren das Vierfache der zweiten Zeile von der letzten Zeile:

x_{1} + 4x_{2} + 3x_{3} = 21
x_{2} + 3x_{3} = 5
21x_{3} = 42.

Auflösen ergibt:

x_{1} = 19, x_{2} = −1, x_{3} = 2

Die Lösungsmenge ist also \{( \begin{matrix}19 \\ −1 \\ 2 \end{matrix} )\}

b) Wir addieren das \frac{1}{2}-fache der ersten Zeile auf die zweite Zeile:

\sqrt{3}x_{1} + 2x_{2} +  \sqrt{5}x_{3}  = 2
\frac{1}{2}x_{2} + (1 + \frac{\sqrt{5}}{2})x_{3} = 1
− x_{2} − (2 + 2\sqrt{5})x_{3} = 0

Wir addieren das 2-fache der zweiten Zeile auf die dritte Zeile:

\sqrt{3}x_{1} + 2x_{2} +  \sqrt{5}x_{3}  = 2
\frac{1}{2}x_{2} + (1 + \frac{\sqrt{5}}{2})x_{3} = 1
0x_{2} +  0x_{3}  = 2

Die Gleichung in der letzten Zeile ist nicht lösbar, und somit hat das Gleichungssystem insgesamt keine Lösung. Die Lösungsmenge ist also die leere Menge.

c) Wir addieren das 2-fache der ersten Zeile auf die dritte Zeile und erhalten:

2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + x_{4} = 2
x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2
x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2
3x_{1} + 4x_{2} + \frac{11}{2}x_{3} + x_{4} = 2.

Jetzt subtrahieren wir die zweite Zeile von der dritte Zeile:

2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + x_{4} = 2
x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2
0 = 0
3x_{1} + 4x_{2} + \frac{11}{2}x_{3} + x_{4} = 2.

Wir subtrahieren das \frac{3}{2}-fache der ersten Zeile von der letzten Zeile und erhalten:

2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + x_{4} = 2
x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2
0 = 0
− \frac{1}{2}x_{2} − \frac{1}{2}x_{3} − \frac{1}{2}x_{4} = −1.

Wir addieren das \frac{1}{2}-fache der zweiten Zeile auf die letzte Zeile und erhalten:

2x_{1} + 3x_{2} + 4x_{3} + x_{4} = 2
x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2
0 = 0
0 = 0.

Wir haben 4 Unbekannte und zwei Gleichungen, können also zwei Parameter frei wählen. Wir entscheiden uns hier für x_{3} = s und x_{4} = t und bekommen so aus der zweiten Zeile:

x_{2} = 2 − s − t

und nach Einsetzen in die erste Zeile: x_{1} = −2 − \frac{1}{2}s + t mit s, t ∈ IR. Als Lösungsmenge erhalten

wir \{( \begin{matrix}−2 − \frac{1}{2}s + t \\ 2 − s − t \\ s \\ t \end{matrix} ) | s, t ∈ IR \}.

30. Aufgabe: (1+1+2P) Für die Matrix M = (m_{ij})_{i=1,...m,j=1,...n} schreiben wir abkürzend (m_{ij}), wobei wir immer die richtigen Wertebereiche der Indizes i, j im Hinterkopf behalten. Analog schreiben wir auch M′ = (m′_{ij}).

a) Es gilt:

M + M′ = (m_{ij}) + (m′_{ij}) = (m_{ij} + m′_{ij}) = (m′_{ij} + m_{ij}) = M′ + M

b) Sei M = (m_{ij}). Dann definieren wir die Matrix M′ = (m′_{ij}) indem wir setzen: m′_{ij} := −m_{ij} für

alle i = 1, …, m und j = 1, …, n. Dann gilt: M + M′ = (m_{ij}) + (m′_{ij}) = (m_{ij} − m_{ij}) = ( ⋮ ⋮_{0 ... 0}^{0 ... 0} ).

c) Es gilt:

(a + b)M = ((a + b)m_{ij}) = (am_{ij} + bm_{ij}) = (am_{ij}) + (bm_{ij}) = aM + bM

31. Aufgabe: (2+2P)

a) Seien a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ∈ IR und betrachte die Linearkombination

a_{1}M_{1} + a_{2}M_{2} + a_{3}M_{3} + a_{4}M_{4} = O (Nullmatrix).

Für die expliziten Darstellungen der Matrizen ist dies äquivalent zu:

a_{1} (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + a_{2} (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + a_{3} (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) + a_{4} (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) = O.

Nach den Rechenregeln für Matrizen ist dies äquivalent zu:

(\begin{matrix}a_{1} & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}0 & a_{2} \\ 0 & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}0 & 0 \\ a_{3} & 0 \end{matrix}) + (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & a_{4} \end{matrix}) = O
⇔ (\begin{matrix}a_{1} & a_{2} \\ a_{3} & a_{4} \end{matrix}) = O
⇔ a_{1} = 0 ∧ a_{2} = 0 ∧ a_{3} = 0 ∧ a_{4} = 0.

Somit sind die Matrizen M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} linear unabhänging.

b) Sei M = (\begin{matrix}m_{11} & m_{12} \\ m_{21} & m_{22} \end{matrix}) eine beliebige (2 × 2)-Matrix. Dann gilt: M = m_{11}M_{1} + m_{12}M_{2} +

m_{21}M_{3} + m_{22}M_{4}. Da die Matrizen M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} linear unabhängig sind, sind die m_{ij} eindeutig festgelegt, d.h. es gibt keine Zahlen a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ∈ IR so daß M = a_{1}M_{1} + a_{2}M_{2} + a_{3}M_{3} + a_{4}M_{4} und a_{1} ≠ m_{11} ∨ a_{2} ≠ m_{12} ∨ a_{3} ≠ m_{21} ∨ a_{4} ≠ m_{22}.