Lineare Algebra I (WS 2004/05)

Lösungen 8. Übung

25. Aufgabe: (1+1+1P) Wir berechnen:

a) a⃗×b⃗ = ( \begin{matrix}\sqrt{3}·1−0·(3+4\sqrt{2}) \\ 0·\sqrt{3}−1·1 \\ 1·(3+4\sqrt{2})−\sqrt{3}·\sqrt{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ −1 \\ 4\sqrt{2} \end{matrix} ), (a⃗, b⃗, c⃗) = ⟨a⃗×b⃗, c⃗)⟩ = \sqrt{3}·3\sqrt{3}+(−1)·(−17)+4\sqrt{2}·2\sqrt{2} =

3 · 3 + 17 + 8 · 2 = 42.

b) a⃗ × b⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 605 \end{matrix} ), (a⃗, b⃗, c⃗) = 104 + 605 = 709 c) a⃗ × b⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 200 \end{matrix} ), (a⃗, b⃗, c⃗) = 200 · 23, 555 = 4711

26. Aufgabe: (1+1+1+1P)

a) Durch komponentenweises Auswerten sieht man, daß die Gleichung λa⃗ = c⃗, für λ ∈ IR, keine Lösung hat, und somit a⃗ und c⃗ nicht parallel sind. Daraus folgt sofort, daß die Geraden G_{1} und G_{2} nicht parallel sind. Um zu zeigen, daß sich G_{1} und G_{2} nicht schneiden, setzen wir beide Geradengleichungen gleich:

ra⃗ = b⃗ + sc⃗

für r, s ∈ IR. Wir erhalten aus der Komponentendarstellung der Vektoren a⃗, b⃗, c⃗ die folgenden Gleichungen:

r = 1
s = 0  (1)
s = 1  (2)

und sehen, daß Gleichungen (1) und (2) nicht gleichzeitig erfüllt werden können, und somit gilt: G_{1} ∩ G_{2} = ∅.

b) a⃗ × c⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), ∥ a⃗ × c⃗ ∥= \sqrt{2} ⇒ e⃗ = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ).

c) Mithilfe der Koordinatendarstellungen von a⃗, b⃗, c⃗ erhalten wir drei Gleichungen:

α = 1
\frac{t}{\sqrt{2}} = β
\frac{t}{\sqrt{2}} = 1 − β,

mit Lösungen α = 1, β = \frac{1}{2}, t = \frac{1}{\sqrt{2}}

27. Aufgabe: (1+2+2P) a) Skizze (klar)

b) Nachrechnen: sei v⃗ ein beliebiger Vektor, dann:

S_{E}(S_{E}(v⃗)) = S_{E}(v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗)  nach Definition von S_{E}
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗) − 2⟨(v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗), e⃗⟩e⃗  wiederum nach Definition von S_{E}
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗) − 2(⟨v⃗, e⃗⟩ − ⟨2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗, e⃗⟩)e⃗  Bilinerität des Skalarprodukts
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗) − 2(⟨v⃗, e⃗⟩ − 2⟨v⃗, e⃗⟩⟨e⃗, e⃗⟩)e⃗  Bilinerität des Skalarprodukts
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗) − 2(⟨v⃗, e⃗⟩ − 2⟨v⃗, e⃗⟩)e⃗  da ⟨e⃗, e⃗⟩ = 1
= v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗ + 4⟨v⃗, e⃗⟩e⃗
= v⃗

c) Behauptung: die Menge aller Vektoren v⃗, für die gilt, daß S_{E}(v⃗) = v⃗ ist identisch mit der Menge aller Vektoren in E. Beweis: Die Ebene E ist gegeben durch {v⃗ | ⟨v⃗, e⃗⟩ = 0}, d.h. v⃗ ∈ E ⇔ ⟨v⃗, e⃗⟩ = 0. Wir bezeichnen mit F die Menge aller Vektoren, für die gilt: S_{E}(v⃗) = v⃗. Wir wollen zeigen, daß F = E gilt. Sei nun v⃗ ∈ F, dann:

S_{E}(v⃗) = v⃗
⇔ v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗ = v⃗  | −v⃗
⇒  − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗ = 0
⇒  ⟨v⃗, e⃗⟩e⃗ = 0
⇒  ⟨v⃗, e⃗⟩ = 0  da e⃗ ≠ 0.

Somit gilt: F ⊂ E.

In umgekehrter Richtung sei v⃗ ∈ E, dann gilt ⟨v⃗, e⃗⟩ = 0, und somit

S_{E}(v⃗) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗
= v⃗ − 2 · 0 · e⃗
= v⃗ − 0
= v⃗,

und somit E ⊂ F, und insgesamt: E = F.

28. Aufgabe: (2+2P)

a) Im Falle i = j folgt aus Aufgabe 27 b), daß S_{i}(S_{j}(v⃗)) = S_{j}(S_{i}(v⃗)) = S_{i}(S_{i}(v⃗)) = v⃗ für alle Vektoren v⃗. Im Falle i ≠ j ergibt direktes ausrechnen für einen beliebigen Vektor v⃗. :

S_{i}(S_{j}(v⃗)) = S_{i}(v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j})
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}) − 2⟨v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}, e⃗_{i}⟩e⃗_{i}
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}) − 2(⟨v⃗, e⃗_{i}⟩ − 2⟨⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}, e⃗_{i}⟩)e⃗_{i} Bilinearität des Skalarproduktes
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}) − 2(⟨v⃗, e⃗_{i}⟩ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩⟨e⃗_{j}, e⃗_{i}⟩)e⃗_{i} Bilinearität des Skalarproduktes
= (v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}) − 2(⟨v⃗, e⃗_{i}⟩ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩ · 0)e⃗_{i}  da e_{i}, e_{j} orthogonal
= v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i}

Eine analoge Rechnung ergibt:

S_{j}(S_{i}(v⃗)) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}

und somit folgt:

S_{j}(S_{i}(v⃗)) = S_{i}(S_{j}(v⃗))

für alle Vektoren v⃗. b) Beachte zuerst, daß v⃗ in keiner der Ebenen E_{i} enthalten ist und somit v⃗ ≠ 0 und S_{i}(v⃗) ≠ v⃗ für i = 1, 2, 3. Wir zeigen zunächst, daß für i ≠ j gilt: S_{i}(v⃗) ≠ S_{j}(v⃗). Angenommen, es gilt S_{i}(v⃗) = S_{j}(v⃗), dann ist diese Gleichung äquivalent zu

v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}  | −v⃗
⇔ − 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} = −2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} |: −2
⇔  ⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} = ⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}

d.h. die Aussage S_{i}(v⃗) = S_{j}(v⃗) ist äquivalent zur Aussage ⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} = ⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}. Da e_{i}, e_{j} orthogonal zueinander sind, insbesondere also linear unabhänging, und außerdem gilt ⟨v⃗, e⃗_{i}⟩, ⟨v⃗, e⃗_{i}⟩ ≠ 0 (da v⃗ ∉ E_{i}, E_{j}), ist letztere Aussage falsch. Also gilt S_{i}(v⃗) ≠ S_{j}(v⃗).

Wir haben jetzt, zusätzlich zum Vektor v⃗ durch Spiegelung drei weitere, voneinander verschiedene Vektoren erhalten: S_{1}(v⃗), S_{2}(v⃗), und S_{3}(v⃗).

Wir betrachten nun die Vektoren S_{i}(S_{j}(v⃗)). Nach Aufgabe 27 b) gilt: S_{i}(S_{i}(v⃗) = v⃗ für alle i, wir erhalten also für i = j keine neuen Vektoren. Für i ≠ j haben wir in Teil a) berechnet: S_{j}(S_{i}(v⃗)) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j}. Damit gilt:

v⃗ − S_{i}(S_{j}(v⃗)) = 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} + 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} ≠ 0,

d.h. v⃗ ≠ S_{i}(S_{j}(v⃗)), weiter:

S_{i}(v⃗) − S_{i}(S_{j}(v⃗)) = 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} ≠ 0,

und:

S_{j}(v⃗) − S_{i}(S_{j}(v⃗)) = 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} ≠ 0,

und für k ≠ i, j:

S_{k}(v⃗) − S_{i}(S_{j}(v⃗)) = 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} + 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k} ≠ 0,

wobei wir in allen Fällen benutzt haben, daß die e_{i} linear unabhängig sind und v⃗ ∉ E_{i} für alle i. Da wegen Teil a) gilt S_{i}(S_{j}(v⃗) = S_{j}(S_{i}(v⃗), erhalten wir drei neue Punkte, nämlich S_{1}(S_{2}(v⃗)), S_{1}(S_{3}(v⃗)), und S_{2}(S_{3}(v⃗)), die verschieden sind von v⃗, S_{1}(v⃗), S_{2}(v⃗), und S_{3}(v⃗).

Nun betrachten wir Vektoren der Form S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))). Im Falle i = j gilt nach Aufgabe 27 b): S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))) = S_{i}(S_{i}(S_{k}(v⃗))) = S_{k}(v⃗). Im Falle j = k gilt ebenso: S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))) = S_{i}(S_{j}(S_{j}(v⃗))) = S_{i}(v⃗). Für i = k können wir nach Teil a) schreiben: S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))) = S_{i}(S_{j}(S_{i}(v⃗))) = S_{i}(S_{i}(S_{j}(v⃗))), womit wieder nach Aufgabe 27 b) gilt: S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))) = S_{j}(v⃗).

Somit sind nur Vektoren S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))) von Interesse, bei denen i, j, k paarweise verschieden sind. Es gilt (nach Rechnung):

S_{i}(S_{j}(S_{k}(v⃗))) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k},

was offensichtlich nicht von der Anordnung von i, j, k abhängt, d.h. S_{1}(S_{2}(S_{3}(v⃗))) = S_{2}(S_{3}(S_{1}(v⃗))) = S_{3}(S_{2}(S_{1}(v⃗))) = · · ·. Wie oben rechnet man nach, daß S_{1}(S_{2}(S_{3}(v⃗))) ≠ S_{i}(S_{j}(v⃗)) für i ≠ j, S_{1}(S_{2}(S_{3}(v⃗))) ≠ S_{i}(v⃗) und S_{1}(S_{2}(S_{3}(v⃗))) ≠ v⃗.

Somit haben wir folgende Liste von paarweise verschiedenen Spiegelungsvektoren von v⃗:

v⃗, S_{1}(v⃗), S_{2}(v⃗), S_{3}(v⃗), S_{1}(S_{2}(v⃗)), S_{1}(S_{3}(v⃗)), S_{2}(S_{3}(v⃗)), S_{1}(S_{2}(S_{3}(v⃗))).

Behauptung: diese Liste ist vollständig. Beweis: Betrachte für vier Elemente i, j, k, l ∈ {1, 2, 3} den Vektor S_{i}(S_{j}(S_{k}(S_{l}(v⃗)))). Da {1, 2, 3} nur aus drei Elementen besteht, müssen mindestens zwei der i, j, k, l identisch sein. Wir können ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, daß j, k, l paarweise verschieden sind, da wir sonst, wie oben gesehen, den Ausdruck S_{j}(S_{k}(S_{l}(v⃗))) durch einen kürzeren ersetzen könnten. Nun ist i identisch mit einem der Indizes j, k, l. Wir rechnen aus:

S_{i}(S_{j}(S_{k}(S_{l}(v⃗)))) =S_{i}(v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k} − 2⟨v⃗, e⃗_{l}⟩e⃗_{l})
=(v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k} − 2⟨v⃗, e⃗_{l}⟩e⃗_{l})
− 2(⟨v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k} − 2⟨v⃗, e⃗_{l}⟩e⃗_{l}, e⃗_{i}⟩e⃗_{i})
=v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k} − 2⟨v⃗, e⃗_{l}⟩e⃗_{l}
− 2⟨v⃗, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} + 4⟨v⃗, e⃗_{j}⟩⟨e⃗_{j}, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} + 4⟨v⃗, e⃗_{k}⟩⟨e⃗_{k}, e⃗_{i}⟩e⃗_{i} + 4⟨v⃗, e⃗_{l}⟩⟨e⃗_{l}, e⃗_{i}⟩e⃗_{i}

Für i = j verschwinden die Skalarprodukte ⟨e⃗_{k}, e⃗_{i}⟩ und ⟨e⃗_{l}, e⃗_{i}⟩, und wir erhalten:

S_{i}(S_{j}(S_{k}(S_{l}(v⃗)))) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k} − 2⟨v⃗, e⃗_{l}⟩e⃗_{l}
= S_{k}(S_{l}(v⃗)).

Analog, für i = k:

S_{i}(S_{j}(S_{k}(S_{l}(v⃗)))) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{l}⟩e⃗_{l}
= S_{j}(S_{l}(v⃗)),

und für i = l:

S_{i}(S_{j}(S_{k}(S_{l}(v⃗)))) = v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗_{j}⟩e⃗_{j} − 2⟨v⃗, e⃗_{k}⟩e⃗_{k}
= S_{j}(S_{k}(v⃗)).

Somit folgt, daß jede Nacheinanderanwendung von 4 Spiegelungen äquivalent ist zu einer Nacheinanderanwendung von weniger als 4 Spiegelungen. Daraus wiederum folgt, daß obige Liste von Spiegelpunkten von v⃗ durch weitere Spiegelungen nicht mehr erweitert werden kann.