Lineare Algebra I (WS 2004/05)

Lösungen 7. Übung

21. Aufgabe: (2+2P) Am günstigsten ist es, die Parameterdarstellung in die Hessesche Normalform zu überführen, und damit den Abstand mit Hilfe des Skalarprodukts zu berechnen. Hierbei können wir den Aufpunkt unverändert bei a⃗ belassen und der Stellungsvektor berechnet man so: e⃗ = \frac{b⃗×c⃗}{∥b⃗×c⃗∥}. Der Abstand A von P zu E ist dann gegeben durch dir Formel;

A = |⟨p⃗ − a⃗, e⃗⟩|

a) b⃗ × c⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), ∥ b⃗ × c⃗ ∥= 1, p⃗ − a⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix} ), A = 2.

b) b⃗ × c⃗ = ( \begin{matrix}−2 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ), ∥ b⃗ × c⃗ ∥= \sqrt{6}, p⃗ − a⃗ = ( \begin{matrix}4 \\ 4 \\ −2 \end{matrix} ), A = |\frac{1}{\sqrt{6}}((−2) · 4 + 1 · 4 + 1 · (−2))| = |\frac{1}{\sqrt{6}} · (−6)| =

| − \sqrt{6}| = \sqrt{6}.

22. Aufgabe: (2+2+1P)

a) Wir setzen E_{1} = E_{2}: x⃗ + r_{1}v⃗_{1} + r_{2}v⃗_{2} = y⃗ + s_{1}w⃗_{1} + s_{2}w⃗_{2}, was für die angegebenen Vektoren ergibt:

( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + r_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) + r_{2} ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + s_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) + s_{2} ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) =

Wir erhalten für jede der drei Koordinaten eine Gleichung:

1 + r_{1} + r_{2} = −1 + s_{1}
r_{1} − r_{2} = 1 − s_{2}
0 = 1 − s_{1}

und nach leichtem Umformen:

r_{1} + r_{2} = −2 + s_{1}
s_{2} = 1 + r_{2} − r_{1}  (*)
s_{1} = 1.

Einsetzen der letzten Gleichung in die erste ergibt:

r_{1} = −1 − r_{2}

welches wiederum durch Einsetzen in (*) ergibt:

s_{2} = 2 + 2r_{2}.

Wir setzen die gefundenen Ausdrücke für s_{1} und s_{2} in die Parameterdarstellung von E_{2} ein und bekommen:

y⃗ + 1 · w⃗_{1} + 2 · w⃗_{1} + r_{2} · 2w⃗_{2},

d.h. eine Geradengleichung mit Aufpunkt y⃗ + w⃗_{1} + 2w⃗_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} ) und Richtungsvektor 2w⃗_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 0 \end{matrix} ). Man beachte, daß Aufpunkt und Richtungsvektor parallel sind, d.h. die Schnittgerade geht durch den Ursprung. b) Die Hessesche Normalform wird berechnet wie in Aufgabe 21.

Für E_{1}: der Aufpunkt kann als x⃗ gewählt werden, und e⃗_{1} = \frac{v⃗_{1}×v⃗_{2}}{∥v⃗_{1}×v⃗_{2}∥} = \frac{1}{2} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} )

Für E_{2}: der Aufpunkt kann als y⃗ gewählt werden, und e⃗_{2} = \frac{w⃗_{1}×w⃗_{2}}{∥w⃗_{1}×w⃗_{2}∥} = \frac{1}{\sqrt{2}} ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ).

c) Für den Winkel zwischen den Ebenen E_{1} und E_{2} berechnen wir das Skalarprodukt der Stellungsvektoren e⃗_{1} und e⃗_{2}. Es gilt nämlich: cos ϕ = ⟨e⃗_{1}, e⃗_{2}⟩, wobei ϕ der von e⃗_{1} und e⃗_{2} eingeschlossene Winkel ist. Wir berechnen: ⟨e⃗_{1}, e⃗_{2}⟩ = \frac{1}{\sqrt{2}}(0 · (−1) + 0 · 0 + (−1) · (−1) = \frac{1}{\sqrt{2}} · 1 = \frac{1}{\sqrt{2}}. Für ϕ ∈ [0, π[ gibt es genau eine Möglichkeit, nämlich ϕ = \frac{π}{4} . Da somit ϕ < \frac{π}{2} , ist dies der spitze Winkel zwischen E_{1} und E_{2}. Der stumpfe Winkel ist demnach π − \frac{π}{4} = \frac{3}{4}π.

23. Aufgabe: (1+1+3P)

Wir schreiben u⃗ = ( \begin{matrix}u_{1} \\ u_{2} \\ u_{3} \end{matrix} ), v⃗ = ( \begin{matrix}v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix} ), w⃗ = ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ).

a) v⃗ × w⃗ = ( \begin{matrix}v_{2}w_{3}−v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1}−v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2}−v_{2}w_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−(−v_{2}w_{3}−(−v_{3}w_{2})) \\ −(−v_{3}w_{1}−(−v_{1}w_{3})) \\ −(−v_{1}w_{2}−(−v_{2}w_{1})) \end{matrix} ) = − ( \begin{matrix}−v_{2}w_{3}−(−v_{3}w_{2}) \\ −v_{3}w_{1}−(−v_{1}w_{3}) \\ −v_{1}w_{2}−(−v_{2}w_{1}) \end{matrix} ) = − ( \begin{matrix}−v_{2}w_{3}+v_{3}w_{2} \\ −v_{3}w_{1}+v_{1}w_{3} \\ −v_{1}w_{2}+v_{2}w_{1} \end{matrix} ) =

− ( \begin{matrix}v_{3}w_{2}−v_{2}w_{3} \\ v_{1}w_{3}−v_{3}w_{1} \\ v_{2}w_{1}−v_{1}w_{2} \end{matrix} ) = − ( \begin{matrix}w_{2}v_{3}−w_{3}v_{2} \\ w_{3}v_{1}−w_{1}v_{3} \\ w_{1}v_{2}−w_{2}v_{1} \end{matrix} ) = −(w⃗ × v⃗)

b) a(v⃗×w⃗) = a ( \begin{matrix}v_{2}w_{3}−v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1}−v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2}−v_{2}w_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a(v_{2}w_{3}−v_{3}w_{2}) \\ a(v_{3}w_{1}−v_{1}w_{3}) \\ a(v_{1}w_{2}−v_{2}w_{1}) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}a(v_{2}w_{3})−a(v_{3}w_{2}) \\ a(v_{3}w_{1})−a(v_{1}w_{3}) \\ a(v_{1}w_{2})−a(v_{2}w_{1}) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(av_{2})w_{3}−(av_{3})w_{2} \\ (av_{3})w_{1}−(av_{1})w_{3} \\ (av_{1})w_{2}−(av_{2})w_{1} \end{matrix} ) = (av⃗)×w⃗.

c) (u⃗ + v⃗) × w⃗ = ( \begin{matrix}u_{1}+v_{1} \\ u_{2}+v_{2} \\ u_{3}+v_{3} \end{matrix} ) × ( \begin{matrix}w_{1} \\ w_{2} \\ w_{3} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}(u_{2}+v_{2})w_{3}−(u_{3}+v_{3})w_{2} \\ (u_{3}+v_{3})w_{1}−(u_{1}+v_{1})w_{3} \\ (u_{1}+v_{1})w_{2}−(u_{2}+v_{2})w_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{2}w_{3}+v_{2}w_{3}−(u_{3}w_{2}+v_{3}w_{2}) \\ u_{3}w_{1}+v_{3}w_{1}−(u_{1}w_{3}+v_{1}w_{3}) \\ u_{1}w_{2}+v_{1}w_{2}−(u_{2}w_{3}+v_{2}w_{1}) \end{matrix} ) =

( \begin{matrix}u_{2}w_{3}+v_{2}w_{3}−u_{3}w_{2}−v_{3}w_{2} \\ u_{3}w_{1}+v_{3}w_{1}−u_{1}w_{3}−v_{1}w_{3} \\ u_{1}w_{2}+v_{1}w_{2}−u_{2}w_{1}−v_{2}w_{1}) \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{2}w_{3}−u_{3}w_{2}+v_{2}w_{3}−v_{3}w_{2} \\ u_{3}w_{1}−u_{1}w_{3}+v_{3}w_{1}−v_{1}w_{3} \\ u_{1}w_{2}−u_{2}w_{1}+v_{1}w_{2}−v_{2}w_{1} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}u_{2}w_{3}−u_{3}w_{2} \\ u_{3}w_{1}−u_{1}w_{3} \\ u_{1}w_{2}−u_{2}w_{1} \end{matrix} )+( \begin{matrix}v_{2}w_{3}−v_{3}w_{2} \\ v_{3}w_{1}−v_{1}w_{3} \\ v_{1}w_{2}−v_{2}w_{1} \end{matrix} ) = (u⃗×w⃗)+(v⃗×w⃗).

24. Aufgabe: (2P)

(−v⃗) × (−w⃗) = ((−1)v⃗) × (−w⃗)
= (−1)(v⃗ × (−w⃗))  nach Aufgabe 18 a)
= (−1)(v⃗ × ((−1) · w⃗))
= (−1) · (−1)(v⃗ × w⃗)  nach Aufgabe 18 b)
= 1 · (v⃗ × w⃗)
= v⃗ × w⃗.