7. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 2.12.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

In den folgenden Aufgaben sei stets die Wahl eines kartesischen Koordinatensystems (N, e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3}) vorausgesetzt.

21. Aufgabe: Gegeben sei ein Punkt P, repräsentiert durch den Vektor p⃗, und eine Ebene E, welche gegeben ist durch die Parameterdarstellung x⃗ = a⃗ + rb⃗ + sc⃗, wobei a⃗, b⃗, c⃗ Vektoren und r, s ∈ IR. Berechne den Abstand von P zu E in folgenden Fällen:

a) p⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ), a⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), b⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), c⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ).

b) p⃗ = ( \begin{matrix}3 \\ 3 \\ −3 \end{matrix} ), a⃗ = ( \begin{matrix}−1 \\ −1 \\ −1 \end{matrix} ), b⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ), c⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ). (4)

22. Aufgabe: Betrachte die Ebenen E_{1} und E_{2}, gegeben durch die Parameterdarstellungen E_{1} : x⃗ + r_{1}v⃗_{1} + r_{2}v⃗_{2} , E_{2} : y⃗ + s_{1}w⃗_{1} + s_{2}w⃗_{2}. Hierbei sind r_{1}, r_{2}, s_{1}, s_{2} ∈ IR und die Vektoren x⃗, y⃗, v⃗_{1}, v⃗_{2}, w⃗_{1}, w⃗_{2} sind gegeben durch:

x⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , v⃗_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v⃗_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )

y⃗ = ( \begin{matrix}−1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) , w⃗_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ −1 \end{matrix} ) , w⃗_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ −1 \\ 0 \end{matrix} )

a) Bestimme die Schnittmenge E_{1} ∩ E_{2} und gib ggf. eine Parameterdarstellung an.

b) Gib die Ebenen E_{1} und E_{2} in Hessescher Normalform an.

c) Bestimme den Winkel zwischen E_{1} und E_{2} . (5)

23. Aufgabe: Seien u⃗, v⃗, w⃗ Vektoren, a ∈ IR. Beweise unter Benutzung der Koordinatendarstellung folgende Eigenschaften des Vektorprodukts:

a) v⃗ × w⃗ = −(w⃗ × v⃗)

b) a(v⃗ × w⃗) = (av⃗) × w⃗

c) (u⃗ + v⃗) × w⃗ = (u⃗ × w⃗) + (v⃗ × w⃗) . (5)

24. Aufgabe: Seien v⃗, w⃗ Vektoren. Beweise: (−v⃗) × (−w⃗) = v⃗ × w⃗. (2)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris