5. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 18.11.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

12. Aufgabe: Die drei Punkte A, B und C mit den Ortsvektoren a⃗, b⃗ bzw. c⃗ seien nichtkollinear. Beweise, daß die Vektoren c⃗ − a⃗ und b⃗ − a⃗ nicht parallel sind. (2)

13. Aufgabe: A, B und C seien drei nichtkollineare Punkte. Δ sei das Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. Setze: N := A (Ursprung), b⃗ := A⃗B, c⃗ := A⃗C und S sei der Punkt mit dem Ortsvektor \frac{1}{3}(b⃗ + c⃗).

a) Stelle die Gleichungen der Seitenhalbierenden s_{A}, s_{B}, s_{C} von Δ durch die Punkte A, B bzw. C auf.

b) Zeige, daß S auf allen drei Seitenhalbierenden liegt.

c) Begründe, daß S jede Seitenhalbierende im Verhältnis 2 : 1 teilt. (5)

14. Aufgabe: Die Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} seien paarweise linear unabhängig. Untersuche, ob die Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} linear unabhängig sind. (Hinweis: Beweis oder Gegenbeispiel!) (2)

15. Aufgabe: Die Vektoren v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} seien linear unabhängig. Bilde die folgenden Linearkombinationen:

a) w⃗_{1} = 4v⃗_{1} , w⃗_{2} = 2v⃗_{1} + 2v⃗_{2} + 2v⃗_{3} , w⃗_{3} = 7v⃗_{2} − v⃗_{3}

b) w⃗_{1} = v⃗_{1} + v⃗_{2} + v⃗_{3} , w⃗_{2} = v⃗_{2} − v⃗_{3} , w⃗_{3} = 7v⃗_{2} − 7v⃗_{3} Untersuche jeweils in a) und b), ob die Vektoren w⃗_{1}, w⃗_{2}, w⃗_{3} linear unabhängig sind oder nicht. Die Antworten sind natürlich zu begründen! (3)

16. Aufgabe: v⃗, w⃗ seien Vektoren. Beweise:

a) | ⟨v⃗, w⃗⟩ | ≤ ∥v⃗∥ · ∥w⃗∥

b) ∥v⃗ + w⃗∥ ≤ ∥v⃗∥ + ∥w⃗∥ (Dreiecksungleichung) (Hinweis: Für reelle Zahlen a, b ≥ 0 gilt: a ≤ b ⟺ a^{2} ≤ b^{2} ) (3) Hinweis: Es gilt ∥ v⃗ ∥ = \sqrt{⟨ v⃗, v⃗ ⟩}

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris