4. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 11.11.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1) Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

9. Aufgabe: In Aufgabe 2 wurde bewiesen: Zu beliebigen ganzen Zahlen a und n mit n > 0 gibt es ganze Zahlen q und r mit folgenden Eigenschaften

a = qn + r und 0 ≤ r < n

(Diese Zahlen q und r sind dadurch sogar eindeutig bestimmt). Man bezeichnet diesen Sachverhalt als “Division mit Rest in ZZ” und nennt r den “Rest bei Division von a durch n”. Man schreibt auch r =: a mod n. Auf der Menge ZZ_{n} := { 0, 1, 2, 3, …, n − 1 } seien eine Addition ⊕ und eine Multiplikation ⊙ definiert durch

x ⊕ y := (x + y) mod n , x ⊙ y := (x · y) mod n (x, y ∈ ZZ_{n})

Beweise:

a) (a + kn) mod n = a mod n für alle a, k ∈ ZZ

b) Für ⊕ gilt das Assoziativ–Gesetz

c) x ⊕ 0 = x für alle x ∈ ZZ_{n}

d) Zu x ∈ ZZ_{n} existiert ein y ∈ ZZ_{n} mit x ⊕ y = 0

e) Gibt es zu 2 ∈ ZZ_{14} ein x ∈ ZZ_{14} mit 2 ⊙ x = 1 ? (Die Antwort ist zu begründen!) (5)

10. Aufgabe: M, N, P seien Mengen.

a) Beweise: (M ∩ N) ∪ P = M ∩ (N ∪ P) ⟺ P ⊆ M

b) Welche Teilmengenbeziehung gilt zwischen den Mengen (M \ N) \ P und M \ (N \ P) ? Müssen sie gleich sein? Begründe alle Antworten. (4)

11. Aufgabe: Seien r, s ∈ IR und v⃗ ein Vektor im Anschauungsraum A . Beweise nur unter Verwendung von (4.1) und (4.2) mit genauer Angabe der benutzten Rechnenregeln:

\begin{matrix}a) v⃗ + v⃗ = v⃗ ⟹ v⃗ = o⃗ & b) ro⃗ = o⃗ \\ c) 0v⃗ = o⃗ & d) rv⃗ = o⃗ ⟹ ( r = 0 ∨ v⃗ = o⃗) \\ e) −(rv⃗) = (−r)v⃗ & f) rv⃗ = sv⃗ ⟹ ( r = s ∨ v⃗ = o⃗) \end{matrix}

(5)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris