14. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 3.2.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (oranger Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (oranger Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

48. Aufgabe: a) Betrachte die Vektoren v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} ) , v_{2} = ( \begin{matrix}5 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ IR^{4}. Zeige, daß \{v_{1}, v_{2}\}

linear unabhängig ist und ergänze {v_{1}, v_{2}} zu einer Basis von IR^{4}.

b) Betrachte die Vektoren v_{1} = ( \begin{matrix}0 \\ 6 \\ 8 \\ 18 \end{matrix} ), v_{2} = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4 \end{matrix} ), v_{3} = ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix} ), v_{4} = ( \begin{matrix}4 \\ 7 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ). Zeige, daß

\{v_{1}, v_{2}, v_{3}, v_{4}\} linear unabhängig ist. Sei w = ( \begin{matrix}1 \\ 5 \\ 7 \\ 19 \end{matrix} ) ∈ IR^{4}. Tausche w mit einem der v_{i} aus, so

daß man wieder eine Basis von IR^{4} erhält. (4)

50. Aufgabe: Sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum. Wir definieren h(V) als die maximale Länge von Folgen von Untervektorräumen V_{1}, …, V_{r} von V, so daß gilt:

{0} ⫋ V_{1} ⫋ ⋯ ⫋ V_{r} = V.

Zeige: h(V) = dim V. (4)

51. Aufgabe: Seien V, W Vektorräume.

a) Zeige: V × W = (V × {0_{W} }) ⊕ ({0_{V} } × W).

b) Seien V und W endlich-dimensional und {v_{1}, …, v_{n}} und {w_{1}, …, w_{m}} Basen von V bzw. von W. Gib eine Basis von V ×W an (natürlich mit Begründung!) und bestimme die Dimension von V × W. (3)

52. Aufgabe: Die Teilmenge F ⊆ F(IR) bestehe aus den reellen Folgen (a_{1}, a_{2}, a_{3}, …), für die gilt: a_{n+2} = a_{n+1} + a_{n} für alle n ∈ IN \ {0}.

a) Zeige, daß F ein Untervektorraum des Folgenraumes F(IR) ist.

b) Bestimme eine Basis von F. Welche Dimension hat F ? (4)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: Fr, 11.2.2005, 9.00–12.00 Uhr