12. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 20.1.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

40. Aufgabe: Sind folgende Teilmengen T des IR^{4} Untervektorräume? Gib jeweils einen

Beweis oder ein Gegenbeispiel an (hierbei ist x jeweils der Vektor ( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} )).

a) T = {x | x_{1} + x_{2} + x_{3} + x_{4} = 0}

b) T = {x | x_{1}^{2} + x_{2}^{2} + x_{3}^{2} + x_{4}^{2} = 1}

c) T = {x | x_{1} + x_{2} = 0 und x_{3} + x_{4} = 0}

d) T = {x | (x_{1} − x_{2})(x_{3} − x_{4}) = 0} (4)

41. Aufgabe: E und F seien beliebige Teilmengen eines Vektorraumes V. Beweise die folgenden Eigenschaften der linearen Hülle:

a) E ⊆ F ⇒ L_{IR}(E) ⊆ L_{IR}(F).

b) L_{IR}(E) = ∑_{v∈E} IRv.

c) L_{IR}(L_{IR}(E)) = L_{IR}(E).

d) Ist U ⊆ V, so ist U genau dann ein Untervektorraum von V, wenn L_{IR}(U) = U gilt. (5)

42. Aufgabe: Zeige in den folgenden Fällen, daß die Teilmenge T des Vektorraumes M_{n}(IR) ein Untervektorraum ist und bestimme linear unabhängige Matrizen E_{1}, …, E_{s} ∈ T, so daß sich jede Matrix aus T als Linearkombination von E_{1}, …, E_{s} darstellen läßt .

a) Sei n = 2, und sei T die Menge der symmetrischen (2 × 2)-Matrizen, d.h. A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈ T genau dann, wenn a_{12} = a_{21}.

b) Sei n ≥ 2 beliebig, und sei T die Menge der symmetrischen (n × n)-Matrizen, d.h. A = (a_{ik}) ∈ T genau dann, wenn a_{ik} = a_{ki} für alle 1 ≤ i, k ≤ n. (4)

43. Aufgabe: Zeige: Sind V und W Vektorräume, dann ist auch das kartesische Produkt V × W ein Vektorraum. Dabei sind die Rechenoperationen auf V × W “komponentenweise” definiert, d.h. für (v_{1}, w_{1}), (v_{2}, w_{2}) ∈ V × W und r ∈ IR setzt man:

(v_{1}, w_{1}) + (v_{2}, w_{2}) := (v_{1} + v_{2}, w_{1} + w_{2})

r (v_{1}, w_{1}) := (rv_{1}, rw_{1}) (2)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: Fr, 11.2.2005, 9.00–12.00 Uhr