11. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 13.1.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

36. Aufgabe: Löse das LGS Ax = b mit dem Entzerrungsalgorithmus, wobei:

A = (\begin{matrix}−2 & −4 & −1 & −17 & −6 & 0 & −6 \\ 3 & 6 & 1 & 24 & 8 & 0 & 30 \\ 1 & 2 & −1 & 4 & 0 & 0 & 2 \\ 2 & 4 & −1 & 11 & 2 & 0 & 10 \\ −1 & −2 & −1 & −10 & −4 & 0 & −4 \\ 3 & 6 & −1 & 18 & 4 & 1 & 22 \end{matrix}) , b = (\begin{matrix}−25 \\ 34 \\ 2 \\ 11 \\ −16 \\ 25 \end{matrix}) .

(3)

37. Aufgabe: Beweise oder widerlege: die Gleichungssysteme G_{1} und G_{2} haben die gleiche Lösungsmenge.

a) G_{1} : \begin{aligned}3x_{1} & + & x_{2} & & & = & 1 \\ & & 4x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ x_{1} & + & x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \end{aligned} G_{2} : \begin{aligned}3x_{1} & + & x_{2} & & & = & 1 \\ 7x_{1} & + & 11x_{2} & + & 8x_{3} & = & 4 \\ −2x_{1} & & & + & x_{3} & = & −1 \end{aligned}

b) G_{1} : \begin{aligned}5x_{1} & + & x_{2} & + & 4x_{3} & = & 1 \\ 4x_{1} & + & 2x_{2} & + & 3x_{3} & = & 4 \\ 7x_{1} & + & 5x_{2} & + & 5x_{3} & = & 11 \end{aligned} G_{2} : \begin{aligned}12x_{1} & + & 6x_{2} & + & 9x_{3} & = & 12 \\ \frac{5}{2}x_{1} & + & \frac{1}{2}x_{2} & + & 2x_{3} & = & \frac{1}{2} \\ −\frac{5}{2}x_{1} & − & \frac{1}{2}x_{2} & − & 2x_{3} & = & −\frac{1}{2} \end{aligned}

c) G_{1} : \begin{aligned}x_{1} & + & 2x_{2} & + & 3x_{3} & = & 4 \\ 4x_{1} & + & 5x_{2} & + & 6x_{3} & = & 5 \\ 7x_{1} & + & 8x_{2} & + & 9x_{3} & = & 6 \end{aligned} G_{2} : \begin{aligned}4x_{1} & + & 5x_{2} & + & 6x_{3} & = & 6 \\ x_{1} & + & 2x_{2} & + & x_{3} & = & 4 \\ 7x_{1} & + & 8x_{2} & + & 9x_{3} & = & 5 \end{aligned}

(6)

38. Aufgabe: Beweise mit Hilfe von vollständiger Induktion:

a) Sei V ein Vektorraum, v_{1}, …, v_{n} ∈ V und r ∈ IR. Dann gilt: r · ∑_{i=1}^{n} v_{i} = ∑_{i=1}^{n} r · v_{i}.

b) Sei V ein Vektorraum und U eine nichtleere Teilmenge von V. Dann gilt: U ist ein Untervektorraum von V genau dann wenn für alle v_{1}, … v_{n} ∈ U und α_{1}, …, α_{n} ∈ IR gilt: ∑_{i=1}^{n} α_{i}·v_{i} ∈ U.

c) Seien gegeben r > 0 und r Gleichungssysteme G_{i} : A_{i}x = b_{i} für i = 1, …, r, wobei die A_{i}

(m_{i} × n_{i})-Matrizen sind und b_{i} = ( ⋮_{b_{im_{i}}}^{b_{i1}} ). Sind y_{i} = ( ⋮_{y_{1n_{i}}}^{y_{i1}} ) Lösungen der Gleichungssysteme

G_{i}, dann ist der Vektor

b.w. y = ( y_{11} ; ⋮ ; y_{1n_{1}} ; y_{21} ; ⋮ ; y_{2n_{2}} ; ⋮ ; y_{rn_{r}} ) eine Lösung des Gleichungssystems Ax = b, wobei A die zusammengesetzte

Matrix A = (\begin{matrix}A_{1} & 0 & … & … & 0 \\ 0 & A_{2} & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ... \\ 0 & … & 0 & & A_{r} \end{matrix}) ist und b = ( b_{11} ; ⋮ ; b_{1m_{1}} ; b_{21} ; ⋮ ; b_{2m_{2}} ; ⋮ ; b_{rm_{r}} ). (5)

39. Aufgabe: (zusätzliche Weihnachtsaufgabe) Wir betrachten das Gleichungssystem

a_{11}x_{1} + … + a_{1n}x_{n} = 0
⋮ ⋮ ⋮
a_{n1}x_{1} + … + a_{nn}x_{n} = 0

so daß für j = 1, …, n folgende Bedingungen gelten:

∑_{{k=1 \atop k≠j}}^{n} |a_{jk}| < |a_{jj}|.

Zeige, dass das Gleichungssystem nur die triviale Lösung besitzt (Hinweis: betrachte eine Lösung ( z_{1} ; ⋮ ; z_{n} ) und wähle k_{0} ∈ {1, …, n} so, daß |z_{k_{0}}| maximal ist. Verwende folgende Ungleichungen: für alle x, y ∈ IR gilt: |x + y| ≤ |x| + |y| und |x + y| ≥ |x| − |y|). (⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆)

Frohe Weihnachten und ein gutes Neues Jahr !