10. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 23.12.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

32. Aufgabe: In dem Vektorraum IR^{n} (n > 0) seien die Vektoren v_{1} = ( ⋮_{v_{1}^{n}}^{v_{1}^{1}} ) , …, v_{n} = ( ⋮_{v_{n}^{n}}^{v_{n}^{1}} )

in Koordinatendarstellung gegeben durch:

v_{i}^{j} = \begin{cases}1 & für j = i, i + 1 \\ 0 & sonst. \end{cases} für i = 1, …, n − 1

und

v_{n}^{j} = \begin{cases}1 & für j = n \\ 0 & sonst. \end{cases}

Zeige, daß die Vektoren v_{1}, …, v_{n} linear unabhängig sind und daß sich jedes Element w ∈ IR^{n} in eindeutiger Weise als Linearkombination der v_{1}, …, v_{n} darstellen läßt. (2)

33. Aufgabe: Seien λ, μ ∈ IR. Gegeben sei das folgende lineare Gleichungssystem:

x_{1} + 2x_{2} + x_{3} + x_{4} = 2
x_{2} + 2x_{3} + x_{4} = 2
x_{1} + x_{2} − λx_{3}  = 2 − μ.

Beschreibe die Lösungsmenge dieses Gleichungssytems in Abhängigkeit von μ und λ. Welche Möglichkeiten gibt es? (3)

34. Aufgabe: Seien V ein Vektorraum und U_{1}, U_{2} Untervektorräume von V. Zeige:

a) U_{1} ∩ U_{2} ist ein Untervektorraum von V.

b) U_{1} + U_{2} = {x + y | x ∈ U_{1}, y ∈ U_{2}} ist ein Untervektorraum von V.

c) Ist U_{1} ∪ U_{2} ein Untervektorraum von V, dann gilt: U_{1} ⊆ U_{2} oder U_{2} ⊆ U_{1}. (6)

35. Aufgabe: Sei A = (a_{ik})_{i,k=1,...,n} eine (n × n)-Matrix. Dann ist die Spur von A definiert als:

Sp(A) := ∑_{k=1}^{n} a_{kk}.

a) Zeige: die Menge S aller Matrizen A mit Sp(A) = 0 ist ein Untervektorraum des Vektorraumes der (n × n)-Matrizen.

b) Gib eine Menge {E_{1}, …, E_{m}} von (n×n)-Matrizen an, so daß E_{1}, …, E_{m} linear unabhängig sind und jede Matrix aus S sich eindeutig als Linearkombination von E_{1}, …, E_{m} darstellen läßt (Hinweis: m = n^{2} − 1 — warum?). (4)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris