Chr.Nelius: Einführung in das Zahlensystem (SS 2004) 21./23.4.2004

(1.1) PEANO–Axiome für die natürlichen Zahlen (1889):

P_{1}) 0 ist eine natürliche Zahl.

P_{2}) Jede natürliche Zahl n besitzt eine natürliche Zahl n′ als Nachfolger.

P_{3}) 0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl.

P_{4}) Zwei verschiedene natürliche Zahlen haben unterschiedliche Nachfolger.

P_{5}) Induktionsprinzip

Eine Menge T natürlicher Zahlen, die 0 enthält und mit jeder Zahl auch deren Nachfolger, enthält alle natürlichen Zahlen.

Giuseppe Peano, 1858–1932

\underline{(1.5) SATZ:} Beweis durch vollständige Induktion (1. Version)

Es sei A(n) eine Aussage in Abhängigkeit von n ∈ IN. Kann man dann die beiden folgenden Eigenschaften beweisen:

i) A(0) ist richtig,

ii) aus der Richtigkeit von A(n) für eine beliebige natürliche Zahl n ∈ IN folgt die Richtigkeit von A(n′),

so ist A(n) für alle natürlichen Zahlen n ∈ IN richtig.

\underline{(1.6) Bezeichnungen:} Ein Induktionsbeweis besteht immer aus 2 Beweis–Teilen:

1) dem Induktionsanfang (IA)

hier wird bewiesen, daß die Aussage für n = 0 richtig ist,

2) dem Induktionsschluß (IS) oder dem “Schluß von n auf n′“

hier wird unter der Induktionsvoraussetzung (IV), daß die Aussage für eine beliebige natürliche Zahl n richtig ist, die Induktionsbehauptung (IB) bewiesen, daß dann die Aussage auch für den Nachfolger n′ von n richtig ist.