11. Übungsblatt

Einführung in das Zahlensystem (SS 2004)

Mündliche Bearbeitung zum 23.7.2004

38. Aufgabe: Beweise: Ist I = ([a_{n}, b_{n}]) eine Intervallschachtelung, so ist auch −I = ([−b_{n}, −a_{n}]) eine Intervallschachtelung.

39. Aufgabe: (a_{n}) und (b_{n}) seien Folgen rationaler Zahlen. Beweise:

a) Sind (a_{n}) und (b_{n}) Nullfolgen, so ist auch die “Summenfolge” (a_{n} + b_{n}) eine Nullfolge .

b) Sind (a_{n}) und (b_{n}) monoton wachsend, so ist auch (a_{n} + b_{n}) monoton wachsend .

c) Ist (a_{n}) eine Nullfolge und gilt |b_{n}| ≤ |a_{n}| für alle n ∈ IN , so ist auch (b_{n}) eine Nullfolge.

d) Seien (a_{n}) und (b_{n}) monoton wachsende Folgen. Muß dann auch die “Produktfolge” (a_{n} · b_{n}) monoton wachsend sein? Wenn nein, unter welchen zusätzlichen Voraussetzungen ist diese Aussage richtig?

40. Aufgabe: ([a_{n}, b_{n}]) sei eine Intervallschachtelung, und es sei x ∈ ⋂_{n≥1}[a_{n}, b_{n}] . Beweise,

daß die Folgen (a_{n} − x) und (b_{n} − x) Nullfolgen sind.

41. Aufgabe: Eine Folge (a_{n}) rationaler Zahlen heißt konvergent mit dem Grenzwert x ∈ Q, wenn die Folge (a_{n} − x) eine Nullfolge ist (in Zeichen: lim_{n→∞} a_{n} = x). Beweise: Gilt lim_{n→∞} a_{n} = x und lim_{n→∞} b_{n} = y, so folgt

lim_{n→∞}(a_{n} + b_{n}) = x + y und lim_{n→∞}(a_{n} · b_{n}) = x · y