10. Übungsblatt

Einführung in das Zahlensystem (SS 2004)

Abgabe: Freitag, 16.7.2004 vor der Vorlesung

Versuchen Sie bitte, Ihre Lösungen ausführlich zu begründen. Die Angabe eines Ergebnisses allein reicht nicht aus! Schreiben Sie bitte Ihren Namen, Vornamen und Ihre Matrikel–Nummer auf die erste Seite, und heften Sie alle Seiten zusammen.

34. Aufgabe: Seien a, r, x ∈ Q mit r > 0. Beweise: |x − a| < r ⟺ a − r < x < a + r. (2)

35. Aufgabe: Seien a, b, c ∈ Q. Beweise:

a) a < b ⟺ − a > −b

b) a ≤ b und c ≤ 0 ⟹ ac ≥ bc

c) a < b und c < 0 ⟹ ac > bc

d) a > 0 ⟺ a^{−1} > 0

e) 0 < a < b ⟺ 0 < b^{−1} < a^{−1}

f) 0 < a < b ⟺ 0 < a^{2} < b^{2}

g) x^{2} ≥ 0 für alle x ∈ Q. (7)

36. Aufgabe: Beweise, daß die Folge (\frac{2}{3n^{2} + 5})_{n∈IN} eine Nullfolge ist. Welches Monotonieverhalten hat diese Folge? Ist sie beschränkt? (3)

37. Aufgabe: Beweise: Zu jeder rationalen Zahl x ∈ Q existiert eine natürliche Zahl n mit x < n (Hinweis: Versuche es indirekt). (2)