§ 16. Unendliche Reihen

In IR oder C lassen sich endlich viele Zahlen a_{1}, a_{2}, ...a_{n} aufsummieren. Zunächst ist nur die Summe zweier Zahlen definiert, dann aber läßt sich die Summe von n Zahlen (n ≥ 2) rekursiv definieren durch (s. (6.10c))

(a_{1} + … + a_{n−1}) + a_{n}

Aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes ist diese Bildung unabhängig von der Klammersetzung, so daß

a_{1} + a_{2} + … + a_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}

eindeutig definiert ist. Wir wollen uns jetzt mit der Frage beschäftigen,ob man auch unendlich viele Zahlen aufsummieren kann. Daß hierbei Vorsicht geboten ist, zeigt das folgende Beispiel: Wir wollen (ganz naiv)

1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 + − …

bilden. Diesen ”Ausdruck” berechnen wir auf zwei Arten:

\underbrace{(1 − 1)}_{=0} + \underbrace{(1 − 1)}_{=0} + \underbrace{(1 − 1)}_{=0} + − … = 0

1 + \underbrace{(−1 + 1)}_{=0} + \underbrace{(−1 + 1)}_{=0} + \underbrace{(−1 + 1)}_{=0} + − … = 1

Es muß also erst einmal definiert werden, was wir unter der ”Summe” von unendlich vielen Zahlen verstehen wollen Dies wird mit Hilfe eines Grenzüberganges geschehen. Sei also (a_{k})_{k∈IN} eine Folge komplexer Zahlen, und sei

s_{n} := a_{1} + a_{2} + a_{3} + ... + a_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}

die Summe der ersten n Folgenglieder. s_{n} heißt die n–te Partialsumme von (a_{k})_{k∈IN}. Für jedes n ∈ IN läßt sich s_{n} bilden, da jeweils nur endlich viele Zahlen aufsummiert werden. Wir bilden also eine Folge (s_{n})_{n∈IN} komplexer Zahlen, deren Grenzwert – falls er existiert – wir als ”Summe” aller Folgenglieder ansehen können. In diesem Sinne können wir unendlich viele komplexe Zahlen aufsummieren.

\underline{(16.1) DEF:} Sei (a_{k})_{k∈IN} eine Folge komplexer Zahlen. Die unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt

konvergent (divergent), wenn die Folge (s_{n})_{n∈IN} der Partialsummen konvergent (divergent) ist.

Ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent, so nennt man lim_{n→∞}(s_{n}) den Wert der unendlichen Reihe und schreibt

∑_{k=1}^{∞}a_{k} = lim_{n→∞}(s_{n}) .

\underline{(16.2) BEISPIELE:} a) Die unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k + 1)} ist konvergent und hat den Wert 1.

s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2 · 3} + … + \frac{1}{n(n + 1)} = \frac{n}{n + 1}

Diese Formel kann man durch Induktion beweisen oder durch die folgende Überlegung:

\frac{1}{k(k + 1)} = \frac{1}{k} − \frac{1}{k + 1} (Partialbruchzerlegung)

s_{n} = (1 − \frac{1}{2}) + (\frac{1}{2} − \frac{1}{3}) + … + (\frac{1}{n − 1} − \frac{1}{n}) + (\frac{1}{n} − \frac{1}{n + 1}) = 1 − \frac{1}{n + 1} = \frac{n}{n + 1}

⟹ lim_{n→∞}(s_{n}) = 1, dh. ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k + 1)} = 1

b) Die harmonische Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} ist divergent. Die Folge der Partialsummen ist nämlich unbeschränkt

s_{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \underbrace{\frac{1}{3} + \frac{1}{4}}_{≥ \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{5} + … + \frac{1}{8}}_{≥ \frac{1}{2}} + \underbrace{\frac{1}{9} + … + \frac{1}{16}}_{≥ \frac{1}{2}} + … + \underbrace{\frac{1}{2^{n−1} + 1} + … + \frac{1}{2^{n}}}_{≥ \frac{1}{2}} ≥ 1 + \frac{n}{2}

c) Sei a ∈ C. Die geometrische Reihe ∑_{k=0}^{∞} a^{k} ist für |a| < 1 konvergent und für |a| ≥ 1 divergent. Die n–te Partialsumme ist s_{n} = 1 + a + a^{2} + … + a^{n} = \frac{1 − a^{n+1}}{1 − a} für a ≠ 1 (6.5b) und s_{n} = 1 + n für a = 1. Mit (15.10) folgt:

|a| < 1 ⟹ (a^{n+1}) ⟶ 0 ⟹ lim_{n→∞}(s_{n}) = \underline{\frac{1}{1 − a} = ∑_{k=0}^{∞} a^{k}}

Für |a| ≥ 1 ist (a^{k}) keine Nullfolge, die Reihe also divergent nach dem folgenden Satz (16.3). Speziell: a = −1 ⟹ s_{n} = {1 n gerade 0 n ungerade ⟹ (s_{n}) divergent (Dies ist das Beispiel der vorigen Seite !)

\underline{(16.3) SATZ:} Ist die unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent, so ist (a_{k})_{k∈IN} eine Nullfolge.

\underline{Bew:} Es ist a_{n+1} = s_{n+1} − s_{n}. (s_{n}) konvergent ⟹ (s_{n+1}) konvergent ⟹ (a_{n+1}) konvergent.

lim(a_{n+1}) = lim(s_{n+1}) − lim(s_{n}) = 0

\underline{Beispiel:} ∑_{k=1}^{∞} a^{k} ist für |a| ≥ 1 nicht konvergent, da (a^{k}) keine Nullfolge ist. (15.10)

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 3 Achtung! Die Bedingung ist nur notwendig, nicht aber hinreichend. \underline{Gegenbeispiel:} Die harmonische Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} ist divergent, (\frac{1}{k} ) aber eine Nullfolge. \underline{(16.4) SATZ:} Die Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} seien konvergent. Dann sind auch die Reihen ∑_{k=1}^{∞}(a_{k} ± b_{k}) und ∑_{k=1}^{∞}(ca_{k}) (c ∈ C) konvergent, und es gilt

∑_{k=1}^{∞}(a_{k} ± b_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ± ∑_{k=1}^{∞} b_{k} , ∑_{k=1}^{∞}(ca_{k}) = c ∑_{k=1}^{∞}(a_{k})

\underline{Bew:} Mit (15.8) Achtung! Das Produkt von Reihen läßt sich nicht so einfach bilden (s.später!) \underline{(16.5) SATZ:} (Konvergenzkriterium von Cauchy) Eine unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist genau dann konvergent, wenn gilt: zu jedem ε ∈ IR_{>0} existiert ein n_{0}(ε) ∈ IN mit | ∑_{k=m}^{n} a_{k}| < ε ∀m, n ∈ IN mit n ≥ m ≥ n_{0}(ε) \underline{Bew:} Die Bedingung besagt gerade , daß die Folge (s_{n})_{n∈IN} der Partialsummen eine Cauchy-Folge und damit nach (15.29) konvergent ist; denn s_{n} − s_{m−1} = a_{m} + a_{m+1} + … + a_{n} . \underline{(16.6) DEF:} Eine unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt absolut konvergent, wenn die Reihe ∑_{k=1}^{∞} |a_{k}| konvergent ist. \underline{(16.7) SATZ:} Jede absolut konvergente Reihe ist konvergent. \underline{Bew:} ∑_{k=1}^{∞} |a_{k}| ist konvergent . Nach (16.5) gibt es zu ε ∈ IR_{>0} ein n_{0}(ε) ∈ IN mit

| ∑_{k=m}^{n} |a_{k}|| = ∑_{k=m}^{n} |a_{k}| < ε ∀n ≥ m ≥ n_{0}(ε) ⟹ | ∑_{k=m}^{n} a_{k}| ≤ ∑_{k=m}^{n} |a_{k}| < ε ∀n ≥ m ≥ n_{0}(ε) ⟹^{(16.5)}

∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent. Achtung! Eine konvergente Reihe muß nicht absolut konvergent sein \underline{Gegenbeispiel:} ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k+1}}{k} ist konvergent (Leibniz-Kriterium, Beweis später) ∑_{k=1}^{∞} |\frac{(−1)^{k+1}}{k} | = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} ist divergent (harmonische Reihe).

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 4 Wie bei Folgen lassen sich unendliche Reihen komplexer Zahlen auf unendliche Reihen reeller Zahlen zurückführen: \underline{(16.8) SATZ:} Sei (a_{k})_{k∈IN} eine Folge komplexer Zahlen mit a_{k} = b_{k}+ic_{k} (b_{k}, c_{k} ∈ IR ∀ k ∈ IN). Dann gilt:

a) ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent ⟺ ∑_{k=1}^{∞} b_{k} und ∑_{k=1}^{∞} c_{k} konvergent

b) Ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent, so ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} = ∑_{k=1}^{∞} b_{k} + i · ∑_{k=1}^{∞} c_{k}

Im folgenden werden wir daher Reihen mit reellen Gliedern genauer untersuchen. \underline{(16.9) SATZ:} Sei ∑_{k=1}^{∞} a_{k} eine Reihe mit nichtnegativen reellen Gliedern (d.h. a_{k} ∈ IR und a_{k} ≥ 0 ∀k ∈ IN). ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist genau dann konvergent, wenn die Folge der Partialsummen nach oben beschränkt ist. \underline{Bew:} s_{n+1} = s_{n} + \underbrace{a_{n+1}}_{≥0} ≥ s_{n} , d.h. (s_{n}) ist monoton wachsend. Nach (15.16) ist eine monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge konvergent. Umgekehrt ist jede konvergente Folge beschränkt (15.7). \underline{(16.10) SATZ:} Leibniz-Kriterium für alternierende Reihen Sei (a_{k})_{k∈IN} eine monoton fallende Nullfolge reeller Zahlen. Dann ist die alternierende Reihe

∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k+1} · a_{k} konvergent, und es gilt s_{2n} ≤ ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k+1} · a_{k} ≤ s_{2n+1} (∀ n ∈ IN), wobei

s_{m} = ∑_{k=1}^{m}(−1)^{k+1}a_{k} die m–te Partialsumme ist. (Gottfried Wilhelm Leibniz , 1646 – 1716) \underline{Beispiel:} ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k+1} · \frac{1}{k} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − \frac{1}{6} + ⋯ ist konvergent und hat den Wert ln(2). \underline{(16.11) SATZ:} Vergleichskriterien (a_{k}), (b_{k}) seien Folgen reeller Zahlen mit 0 ≤ a_{k} ≤ b_{k} ∀ k ∈ IN. Dann gilt :

a) ∑_{k=1}^{∞} b_{k} konvergent ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent (Majorantenkriterium)

b) ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent ⟹ ∑_{k=1}^{∞} b_{k} divergent (Minorantenkriterium).

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 5 \underline{Bezeichnungen:} a) ∑_{k=1}^{∞} b_{k} heißt eine konvergente Majorante für ∑_{k=1}^{∞} a_{k}

b) ∑_{k=1}^{∞} a_{k} heißt eine divergente Minorante für ∑_{k=1}^{∞} b_{k}.

\underline{Bew:} s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k} , t_{n} = ∑_{k=1}^{n} b_{k}. Aus a_{k} ≤ b_{k} ∀ k ∈ IN folgt s_{n} ≤ t_{n} ∀ k ∈ IN

a) ∑ b_{k} konvergent ⟹^{(16.9)} (t_{n}) beschränkt. Wegen 0 ≤ s_{n} ≤ t_{n} ist dann auch die Folge (s_{n})_{n∈IN} beschränkt, so daß nach (16.9) die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent ist.

b) Annahme: ∑_{k=1}^{∞} b_{k} konvergent. Dann ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} nach a) konvergent. Widerspruch!

\underline{(16.12) BEISPIEL:} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{m}} ist für alle m ∈ IN, m ≥ 2 konvergent.

m = 2 : k^{2} ≥ k(k − 1) ∀ k ∈ IN ⟹ 0 ≤ \frac{1}{k^{2}} ≤ \frac{1}{k(k − 1)} ∀k ≥ 2 ⟹

∑_{k=2}^{∞} \frac{1}{k(k − 1)} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k(k + 1)} ist eine nach (16.2a) konvergente Majorante von ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} , so daß diese Reihe nach dem Majorantenkriterium (16.11a) konvergent ist.

m ≥ 3 : k^{m} ≥ k^{2} ∀k ∈ IN ⟹ \frac{1}{k^{m}} ≤ \frac{1}{k^{2}} ∀ k ∈ IN ⟹ ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{m}} ist konvergent.

In diesen Fällen ist es nicht mehr so einfach, die Werte der Reihen zu bestimmen. So gilt etwa ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} = \frac{π^{2}}{6} , was schon Leibniz bewiesen hat.

\underline{(16.13) SATZ:} Quotientenkriterium ∑_{k=1}^{∞} a_{k} sei eine unendliche Reihe mit a_{k} ∈ IR_{>0} für alle k ∈ IN. Es gebe eine reelle Zahl q mit \underline{0 < q < 1} und ein k_{0} ∈ IN, so daß gilt

\frac{a_{k+1}}{a_{k}} ≤ q < 1 ∀ k ≥ k_{0}

Dann konvergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k}. Gibt es dagegen ein k_{0} ∈ IN mit \frac{a_{k+1}}{a_{k}} ≥ 1 für alle k ≥ k_{0}, so divergiert die Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k}.

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 6

\underline{Bew:} Die Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=k_{0}}^{∞} a_{k} haben dasselbe Konvergenzverhalten, aber im Falle der Konvergenz i.a. verschiedene Werte. Wir brauchen daher nur den Fall \frac{a_{k+1}}{a_{k}} ≤ q < 1 ∀k ∈ IN zu betrachten.

a_{k+1} ≤ q · a_{k} ≤ q^{2} · a_{k−1} ≤ … ≤ q^{k} · a_{1} ∀k ∈ IN

∑_{k=1}^{∞} q^{k} · a_{1} = a_{1} ∑_{k=1}^{∞} q^{k} ist konvergent , da 0 < q < 1 (16.2c) . Nach (16.11a) ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k+1} konvergent und damit auch ∑_{k=1}^{∞} a_{k}. Gilt \frac{a_{k+1}}{a_{k}} ≥ 1 ∀k ∈ IN, so folgt a_{k+1} ≥ a_{k} > 0 ∀k ∈ IN, so daß (a_{k}) keine Nullfolge ist. Nach (16.3) ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent.

!Achtung! Für die Konvergenz einer Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} reicht nicht aus, daß für alle Quotienten \frac{a_{k+1}}{a_{k}} < 1 gilt. Ein Gegenbeispiel hierfür liefert die harmonische Reihe.

\underline{(16.14) FOLG:} Sei (a_{k}) eine Folge mit a_{k} ∈ IR_{>0} ∀k ∈ IN. Die Folge (\frac{a_{k+1}}{a_{k}} )_{k∈IN} sei konvergent mit dem Grenzwert a ∈ IR. Dann gilt:

a) a < 1 ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist konvergent

b) a > 1 ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist divergent

c) Im Falle a = 1 ist keine Aussage über das Konvergenzverhalten von ∑_{k=1}^{∞} a_{k} möglich.

\underline{Bew:} Es ist a = lim_{k→∞} (\frac{a_{k+1}}{a_{k}} )

\underline{a < 1} Zu ε := \frac{1 − a}{2} > 0 existiert ein k_{0} ∈ IN mit |\frac{a_{k+1}}{a_{k}} − a | < ε ∀ k ≥ k_{0}

⟹ \frac{a_{k+1}}{a_{k}} < a + ε < 1 ∀ k ≥ k_{0} ⟹^{(16.13)} Behauptung.

\underline{a > 1} Zu ε := \frac{1 − a}{2} > 0 existiert k ∈ IN mit |\frac{a_{k+1}}{a_{k}} − a | < ε ∀ k ≥ k_{0}

⟹ 1 < a − ε < \frac{a_{k+1}}{a_{k}} ∀ k ≥ k_{0} ⟹^{(16.13)} Behauptung.

Im Falle \underline{a = 1} läß t sich keine Aussage machen, wie die folgenden Beispiele b) und c) zeigen.

\underline{Beispiele:} a) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k!} ist konvergent, da \frac{a_{k+1}}{a_{k}} = \frac{\frac{1}{(k+1)!}}{\frac{1}{k!}} = \frac{k!}{(k + 1)!} = \frac{1}{k + 1} ⟶ 0 < 1

b) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k} ist divergent, und \frac{\frac{1}{k+1}}{\frac{1}{k}} = \frac{k}{k + 1} = \frac{1}{1 + \frac{1}{k}} ⟶ 1

c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} ist konvergent, und \frac{\frac{1}{(k+1)^{2}}}{\frac{1}{k^{2}}} = \frac{k^{2}}{(k + 1)^{2}} = (\frac{1}{1 + \frac{1}{k}} )^{2} ⟶ 1

\underline{(16.15) SATZ:} Wurzelkriterium ∑_{k=1}^{∞} a_{k} sei eine unendliche Reihe mit a_{k} ∈ IR_{≥0} ∀ k ∈ IN. Es gebe eine reelle Zahl q mit \underline{0 < q < 1} und ein k_{0} ∈ IN mit

k \sqrt{a_{k}} ≤ q < 1 ∀ k ≥ k_{0}

Dann ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent.

Gibt es dagegen ein k_{0} ∈ IN mit ^{k} \sqrt{a_{k}} ≥ 1 ∀ k ≥ k_{0} , so ist ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent.

\underline{Bew:} ^{k} \sqrt{a_{k}} ≤ q < 1 ⟹ a_{k} ≤ q^{k} ⟹ ∑_{k=1}^{∞} q^{k} ist eine konvergente Majorante von ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} konvergent. k \sqrt{a_{k}} ≥ 1 ⟹ a_{k} ≥ 1 ⟹ (a_{k}) ist keine Nullfolge ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} divergent.

\underline{(16.16) FOLG:} ∑_{k=1}^{∞} a_{k} sei eine unendliche Reihe mit a_{k} ∈ IR_{≥0} ∀ k ∈ IN. Die Folge ( ^{k} \sqrt{a_{k}}) sei konvergent mit dem Grenzwert a ∈ IR. Dann gilt:

a) a < 1 ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist konvergent

b) a > 1 ⟹ ∑_{k=1}^{∞} a_{k} ist divergent

c) Im Falle a = 1 ist keine Aussage über das Konvergenzverhalten von ∑_{k=1}^{∞} a_{k} möglich.

\underline{Bew:} Analog zum Beweis von (16.14).

\underline{Beispiel:} ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{k}} ist konvergent, da \frac{1}{\sqrt[k]{k^{k}}} = \frac{1}{k} ⟶ 0

Zwei Anwendungsbeispiele für absolut konvergente Reihen, die zeigen, daß sich solche Reihen weitgehend wie endliche Summen verhalten::

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 8 1. Problem: D̄arf man in eine konvergenten Reihe die Glieder beliebig umordnen? ∑_{k=1}^{∞} (−1)^{k+1} · \frac{1}{k} ist konvergent , aber nicht absolut konvergent (=ln(2))

s = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − \frac{1}{6} + …

= 1 − \frac{1}{2} − \frac{1}{4} + \frac{1}{3} − \frac{1}{6} − \frac{1}{8} + \frac{1}{5} − \frac{1}{10} − \frac{1}{12} + …

= (1 − \frac{1}{2}) − \frac{1}{4} + (\frac{1}{3} − \frac{1}{6}) − \frac{1}{8} + (\frac{1}{5} − \frac{1}{10}) − \frac{1}{12} + …

= \frac{1}{2} − \frac{1}{4} + \frac{1}{6} − \frac{1}{8} + \frac{1}{10} − \frac{1}{12} + …

= \frac{1}{2} (1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + \frac{1}{5} − …) = \frac{1}{2} · s ⟹ s = 0 !

Fazit: In einer konvergenten Reihe darf man nicht ohne weiteres die Glieder beliebig umordnen. Man kann jedoch beweisen:

\underline{(16.17) SATZ:} In einer absolut konvergenten Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k} darf man die Glieder der Reihe beliebig umordnen. Die neue Reihe ist wieder absolut konvergent und hat denselben Grenzwert

wie ∑_{k=1}^{∞} a_{k}.

2. Problem: Wie kann man das Produkt zweier Reihen bilden? Wir wollen das Produkt ∑_{k=1}^{∞} c_{k} zweier Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} so definieren, daß unter geeigneten Konvergenzvoraussetzungen (∑_{k=1}^{∞} a_{k}) · (∑_{k=1}^{∞} b_{k}) = ∑_{k=1}^{∞} c_{k} gilt. Die zunächst naheliegende gliedweise Multiplikation führt nicht zum Ziel:

(∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} ) · (∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{2}} ) = \frac{π^{2}}{6} · \frac{π^{2}}{6} = \frac{π^{4}}{36} ≠ \frac{π^{4}}{90} = ∑_{k=1}^{∞} \frac{1}{k^{4}}

Multiplizieren wir einmal zwei Partialsummen s_{m} und t_{n} distributiv aus und sortieren die Summanden etwas um: s_{m} · t_{n} = (a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + … + a_{m}) · (b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + … + b_{n}) =

\underbrace{a_{1}b_{1}}_{=c_{1}} + \underbrace{a_{1}b_{2} + a_{2}b_{1}}_{=c_{2}} + \underbrace{a_{1}b_{3} + a_{2}b_{2} + a_{3}b_{1}}_{=c_{3}} + \underbrace{a_{1}b_{4} + a_{2}b_{3} + a_{3}b_{2} + a_{4}b_{1}}_{=c_{4}} + …

Wir kommen zu der folgenden Definition:

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 9 \underline{(16.18) DEF:} Das Cauchy–Produkt zweier Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} ist definiert als die

Reihe ∑_{k=1}^{∞} c_{k} mit c_{k} := ∑_{j=1}^{k} a_{j} · b_{k−j+1}.

\underline{(16.19) BEISPIEL:} Das Cauchy–Produkt der konvergenten Reihe ∑_{k=1}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k}} mit sich selbst ist divergent. \underline{Bew:} Sei a_{k} := \frac{(−1)^{k}}{\sqrt{k}} . Dann gilt

c_{k} = ∑_{j=1}^{k} a_{j} · a_{k−j+1} = ∑_{j=1}^{k} \frac{(−1)^{j}}{\sqrt{j}} · \frac{(−1)^{k−j+1}}{\sqrt{k − j + 1}} = (−1)^{k+1} ∑_{j=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{j}\sqrt{k − j + 1}}

1 ≤ j ≤ k ⟹ \frac{1}{\sqrt{j}} ≥ \frac{1}{\sqrt{k}} und \frac{1}{\sqrt{k − j + 1}} ≥ \frac{1}{\sqrt{k}} ⟹ \frac{1}{\sqrt{j}} · \frac{1}{\sqrt{k − j + 1}} ≥ \frac{1}{\sqrt{k}} · \frac{1}{\sqrt{k}} = \frac{1}{k}

⟹ |c_{k}| = ∑_{j=1}^{k} \frac{1}{\sqrt{j}\sqrt{k − j + 1}} ≥ ∑_{j=1}^{k} \frac{1}{k} = k · \frac{1}{k} = 1

Damit ist (c_{k}) keine Nullfolge, die Reihe ∑_{k=1}^{∞} c_{k} also divergent nach (16.3). • Man kann jedoch den folgenden Satz beweisen: \underline{(16.20) SATZ:} Das Cauchy–Produkt ∑_{k=1}^{∞} c_{k} zweier absolut konvergenter Reihen ∑_{k=1}^{∞} a_{k} und ∑_{k=1}^{∞} b_{k} ist wieder absolut konvergent, und es gilt ∑_{k=1}^{∞} c_{k} = (∑_{k=1}^{∞} a_{k}) · (∑_{k=1}^{∞} b_{k}). (16.21) Die Exponentialfunktion

a) Die Reihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} ist für jedes z ∈ C absolut konvergent. \underline{Bew:} Sei z ∈ C eine beliebige feste komplexe Zahl. Setze a_{k} := \frac{z^{k}}{k!} . Wir wenden das Quotientenkriterium auf die Reihe ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}| an.

\frac{|a_{k+1}|}{|a_{k}|} = \frac{|z|^{k+1}}{(k + 1)!} · \frac{k!}{|z|^{k}} = \frac{|z|}{k + 1} ⟶ 0 < 1

Nach (16.14) ist die Reihe ∑_{k=0}^{∞} |a_{k}| konvergent, d.h. die Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k} ist absolut konvergent, und damit insbesondere auch konvergent (16.7).

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 10 b) Die Abbildung exp : C ⟶ C , definiert durch exp(z) := ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} (∀ z ∈ C) , heißt komplexe Exponentialfunktion.

c) Es gilt exp(1) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} = e = lim_{n→∞} (1 + \frac{1}{n})^{n} und e ∈ IR \ Q. Wir wollen dies hier nicht beweisen, sondern nur ein Rechenbeispiel geben. ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} ist eine Reihe mit positiven (reellen) Gliedern, so daß die Folge (s_{n})_{n∈IN_{0}} der Partialsummen streng monoton wachsend ist. Folglich gilt s_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} ≤ e.

\begin{matrix}n & s_{n} \\ 0 & 1.0 \\ 1 & 2.0 \\ 2 & 2.5000000000000000000 \\ 3 & 2.6666666666666666667 \\ 4 & 2.7083333333333333333 \\ 5 & 2.7166666666666666667 \\ 6 & 2.7180555555555555556 \\ 7 & 2.7182539682539682540 \\ 8 & 2.7182787698412698413 \\ 9 & 2.7182815255731922399 \\ 10 & 2.7182818011463844797 \\ 19 & 2.7182818284590452349 \\ 20 & 2.7182818284590452353 \\ 21 & 2.7182818284590452354 \\ e & 2.7182818284590452354 \end{matrix}

Vergleicht man diese Werte mit den Werten der Folge ((1 + \frac{1}{n})^{n})_{n∈IN} , so stellt man hier viel schnellere Konvergenz fest. Es gilt die folgende Fehlerabschätzung:

d) | exp(z) − s_{n}| ≤ 2\frac{|z|^{n+1}}{(n + 1)!} für alle z ∈ C mit |z| ≤ 1 + \frac{n}{2}. Hierbei ist s_{n} = ∑_{k=0}^{n} \frac{z^{k}}{k!} .

e) \underline{Die Funktionalgleichung für die Exponentialfunktion} Es gilt: ∀ z_{1}, z_{2} ∈ C : exp(z_{1} + z_{2}) = exp(z_{1}) · exp(z_{2})

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II , SS 2001 11 \underline{Bew:} Wir bilden das Cauchy–Produkt der beiden absolut konvergenten Reihen exp(z_{1}) = ∑_{k=0}^{∞} \underbrace{\frac{z_{1}^{k}}{k!}}_{:=a_{k}} und exp(z_{2}) = ∑_{k=0}^{∞} \underbrace{\frac{z_{2}^{k}}{k!}}_{:=b_{k}} . Nach (16.20) ist dies die Reihe ∑_{k=0}^{∞} c_{k} mit

c_{k} = ∑_{j=0}^{k} a_{j} · b_{k−j} = ∑_{j=0}^{k} \frac{z_{1}^{j}}{j!} · \frac{z_{2}^{k−j}}{(k − j)!} = \frac{1}{k!} · ∑_{j=0}^{k} \frac{k!}{j! · (k − j)!} · z_{1}^{j} · z_{2}^{k−j}

= \frac{1}{k!} · ∑_{j=0}^{k} ( \begin{matrix}k \\ j \end{matrix} ) · z_{1}^{j} · z_{2}^{k−j} = \frac{1}{k!} · (z_{1} + z_{2})^{k}

⟹ \underline{exp(z_{1}) · exp(z_{2})} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k} = ∑_{k=0}^{∞} \frac{1}{k!} · (z_{1} + z_{2})^{k} = \underline{exp(z_{1} + z_{2})}

f) Es gilt exp(0) = 1 , ∀ z ∈ C : exp(z) ≠ 0 , exp(−z) = \frac{1}{exp(z)}

\underline{Bew:} exp(0) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{0^{k}}{k!} = \frac{0^{0}}{0!} + \underbrace{\frac{0^{1}}{1!} + \frac{0^{2}}{2!} + \frac{0^{3}}{3!} + …}_{=0} = 1

1 = exp(0) = exp(z − z) = exp(z) · exp(−z) ⟹ exp(z) ≠ 0 und exp(−z) = \frac{1}{exp(z)}

g) Es gilt: ∀ q ∈ Q : exp(q) = e^{q} \underline{Bew:} (s. Aufgabe 43)

Potenzreihen

Die Reihe ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} ist für jedes z ∈ C konvergent. Dies ermöglicht es, die Exponentialfunktion zu definieren. Viele andere wichtige mathematische Funktionen lassen sich durch ähnlich gebaute Reihen definieren. Sei (a_{k}) eine Folge komplexer Zahlen. Dann heißt ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine (formale) Potenzreihe. Eine solche Reihe konvergiert in einem Punkt z_{0} ∈ C, wenn die unendliche Reihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z_{0}^{k} konvergent ist. Es stellt sich das Problem: Für welche komplexe Zahlen ist eine Potenzreihe konvergent? Auf jeden Fall ist sie im Punkte z_{0} = 0 konvergent.

\underline{(16.22) BEISPIELE:} a) ∑_{k=0}^{∞} \frac{z^{k}}{k!} ist nach (16.21a) für jedes z ∈ C konvergent.

b) ∑_{k=0}^{∞} z^{k} ist als geometrische Reihe für jedes z ∈ C mit |z| < 1 konvergent, für alle z ∈ C

mit |z| > 1 dagegen divergent. Für |z| < 1 gilt ∑_{k=0}^{∞} z^{k} = \frac{1}{1 − z} . Die Potenzreihe ist also

für alle Punkte des Inneren des Einheitskreises konvergent, man spricht daher auch von einem Konvergenzkreis.

c) ∑_{k=0}^{∞} k^{k}z^{k} ist nur für z = 0 konvergent.

Diese drei Beispiele sind typisch für das Konvergenzverhalten von Potenzreihen.

\underline{(16.23) SATZ:} a) Konvergiert die Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} in einem Punkte z_{0} ∈ C , z_{0} ≠ 0,

so konvergiert sie absolut in jedem Punkt z_{1} ∈ C mit |z_{1}| < |z_{0}|.

b) Divergiert die Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} in einem Punkte z_{0} ∈ C, so divergiert sie auch in jedem

Punkt z_{1} ∈ C mit |z_{1}| > |z_{0}|.

\underline{(16.24) SATZ:} Für eine Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} gibt es genau eine Zahl ρ ∈ IR_{≥0} ∪ \{∞\} mit

folgenden Eigenschaften:

i) ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} konvergiert absolut für alle z ∈ C mit |z| < ρ

ii) ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} divergiert für alle z ∈ C mit |z| > ρ

ρ heißt der Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} .

\underline{BEM:} ρ = 0 bedeutet Divergenz für alle z ∈ C, z ≠ 0, ρ = ∞ bedeutet absolute Konvergenz für alle z ∈ C.

\underline{(16.25) BEM:} a) Sei ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ > 0. Dann

konvergiert sie absolut in der offenen Kreisscheibe K_{ρ}(0) = { z | z ∈ C, |z| < ρ } und divergiert für |z| > ρ. Für z ∈ C mit |z| = ρ läßt sich allgemein keine Aussage über das Konvergenzverhalten machen.

b) Ist ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ > 0, so wird durch

z ⟼ ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine Funktion K_{ρ}(0) ⟶ C definiert.

\underline{(16.26) SATZ:} Es sei ∑_{k=0}^{∞} a_{k}z^{k} eine Potenzreihe mit dem Konvergenzradius ρ. Dann gilt:

a) Konvergiert die Folge ( ^{k} \sqrt{|a_{k}|})_{k∈IN} gegen σ ∈ IR, so folgt:

ρ = \{ \begin{matrix}\frac{1}{σ} & falls σ ≠ 0 \\ ∞ & falls σ = 0 \end{matrix}

Ist die Folge ( ^{k} \sqrt{|a_{k}|})_{k∈IN} unbeschränkt, so folgt ρ = 0.

b) Gilt a_{k} ≠ 0 ∀ k ∈ IN_{0} und konvergiert die Folge (|\frac{a_{k+1}}{a_{k}} |)_{k∈IN_{0}} gegen σ ∈ IR, so folgt:

ρ = \{ \begin{matrix}\frac{1}{σ} & falls σ ≠ 0 \\ ∞ & falls σ = 0 \end{matrix}

Ist die Folge (|\frac{a_{k+1}}{a_{k}} |)_{k∈IN_{0}} unbeschränkt, so folgt ρ = 0.

\underline{(16.27) BEISPIELE:} a) ∑_{k=0}^{∞} k^{k}z^{k} : ρ = 0 b) ∑_{k=0}^{∞} z^{k} : ρ = 1 (geom. Reihe!)

c) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k^{2}} : ρ = 1  d) ∑_{k=1}^{∞} \frac{z^{k}}{k} : ρ = 1  e) ∑_{k=0}^{∞} \frac{kz^{k}}{2^{k}} : ρ = 2

f) ∑_{k=0}^{∞}(z − 1)^{k} : ρ = 1 (konvergent für alle z ∈ C mit |z − 1| < 1, d.h. ∀ z ∈ C : z ∈ K_{1}(1))

g) ∑_{k=0}^{∞} a_{k}(z − c)^{k} . Falls die Potenzreihe ∑_{k=0}^{∞} a_{k}y^{k} den Konvergenzradius ρ hat, so ist die erste Potenzreihe konvergent für alle z ∈ K_{ρ}(c).

Dezimalbruchdarstellung reeller Zahlen

Wir “wissen“, daß sich jede reelle Zahl als ein Dezimalbruch darstellen läßt: 374, 5 = \underline{\underline{3}} · 10^{2} + \underline{\underline{7}} · 10^{1} + \underline{\underline{4}} · 10^{0} + \underline{\underline{5}} · 10^{−1} 0, 125 = \underline{\underline{1}} · 10^{−1} + \underline{\underline{2}} · 10^{−2} + \underline{\underline{5}} · 10^{−3} 0, 333333333333 … = 0, \overline{3} = \underline{\underline{3}} · 10^{−1} + \underline{\underline{3}} · 10^{−2} + \underline{\underline{3}} · 10^{−3} + \underline{\underline{3}} · 10^{−4} + … = ∑_{k=1}^{∞} 3 · 10^{−k} (unendliche Reihe!)

= 3 · ∑_{k=1}^{∞} 10^{−k} = 3 · ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{10})^{k} (geometrische Reihe!)

= 3 · (\frac{1}{1 − \frac{1}{10}} − 1) = 3 · ( \frac{1}{\frac{9}{10}} − 1) = 3 · (\frac{10}{9} − \frac{9}{9}) = 3 · \frac{1}{9} = \frac{1}{3}

Es gibt folgende Arten von Dezimalbrüchen:

1) abbrechend (endlich)

\frac{1}{2} = 0, 5 \frac{3}{8} = 0, 375

2) periodisch (unendlich)

\frac{2}{3} = 0, 6666666666666 … = 0, \overline{6} \frac{7}{33} = 0, 2121212121 … = 0, \overline{21}

3) nicht periodisch (unendlich) \sqrt{2} = 1.4142135623730950488 … In den ersten beiden Fällen handelt es sich um rationale Zahlen, während \sqrt{2} eine irrationale Zahl ist. Wir werden sehen, daß dies die typischen Fälle sind. Für jede reelle Zahl x > 0 gilt

x = ⌊x⌋ + y mit ⌊x⌋ ∈ IN_{0} und 0 ≤ y < 1

Nach (9.22) (für b = 10) läßt sich jede natürliche Zahl a ∈ IN darstellen in der Form

a = ∑_{k=0}^{n} a_{k}10^{k} mit a_{k} ∈ {0, 1, 2, …, 9} (∀ k = 0, 1, …, n) und a_{n} ≠ 0

Dafür schreibt man

a = ∑_{k=0}^{n} a_{k}10^{k} = a_{n}10^{n} + a_{n−1}10^{n−1} + … + a_{2}10^{2} + a_{1}10^{1} + a_{0}10^{0} = a_{n}a_{n−1} … a_{2}a_{1}a_{0}

Wir brauchen uns daher nur noch mit dem Fall einer reellen Zahl y (0 < y < 1) zu beschäftigen.

\underline{(16.28) SATZ:} Ist (a_{k})_{k∈IN} eine Folge von Zahlen aus \{0, 1, 2, …, 9\} , so ist die unendliche Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k}10^{−k} absolut konvergent.

\underline{Bew:} Die geometrische Reihe ∑_{k=1}^{∞} (\frac{1}{10})^{k−1} ist eine konvergente Majorante der Reihe ∑_{k=1}^{∞} a_{k}10^{−k} .

\underline{(16.29) SATZ:} Zu jeder reellen Zahl y ∈] 0, 1 [ gibt es eine Folge (a_{k})_{k∈IN} von Zahlen aus {0, 1, 2, …, 9} mit

y = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}10^{−k}

\underline{Bew:} Für jedes n ∈ IN definieren wir rekursiv natürliche Zahlen a_{1}, a_{2}, …, a_{n} mit folgenden Eigenschaften:

i) 0 ≤ a_{k} ≤ 9 (∀ k = 1, 2 …, n) ii) s_{n} ≤ y < s_{n} + 10^{−n} mit s_{n} = ∑_{k=1}^{n} a_{k}10^{−k}.

Dann folgt |s_{n} − y| < \frac{1}{10^{n}}. Da (\frac{1}{10^{n}} ) eine Nullfolge ist, folgt

y = lim_{n→∞}(s_{n}) = ∑_{k=1}^{∞} a_{k}10^{−k}

Damit ist die Existenz einer Dezimalbruchentwicklung einer reellen Zahl y ∈] 0, 1 [ gesichert, und wir stellen die Frage nach der Eindeutigkeit.

I.a. sind die Dezimalziffern a_{k} von y eindeutig bestimmt. Es gibt jedoch eine Ausnahme: Es gilt a_{k} = 9 = (10 − 1) für fast alle k, d.h. von einer Stelle k_{0} ∈ IN ab. In diesem Falle gibt es dann zwei Darstellungen dieser reellen Zahl, so ist z. B.

0, 12\overline{9} = 0, 13

y = 0, 12\overline{9} = 1 · 10^{−1} + 2 · 10^{−2} + 9 · ∑_{k=3}^{∞} 10^{−k}

∑_{k=3}^{∞} 10^{−k} = 10^{−3} · ∑_{k=0}^{∞} 10^{−k} = 10^{−3} · \frac{1}{1 − \frac{1}{10}} = 10^{−3} · \frac{10}{10 − 1} = 10^{−2} · \frac{1}{9}

⟹ \underline{\underline{y}} = 1·10^{−1}+2·10^{−2}+9·∑_{k=3}^{∞} 10^{−k} = 1·10^{−1}+2·10^{−2}+9·10^{−2}·\frac{1}{9} = 1·10^{−1}+2·10^{−2}+10^{−2} =

1 · 10^{−1} + 3 · 10^{−2} = \underline{\underline{0, 13}}

Verlangt man daher, daß in der Dezimaldarstellung unendlich viele Ziffern von 9 verschieden sind, so ist diese Darstellung eindeutig.

\underline{(16.30) SATZ:} Dezimalbruchentwicklung einer reellen Zahl

Zu jeder reellen Zahl x ≥ 0 gibt es ein n ∈ IN_{0} und eindeutig bestimmte Zahlen b_{0}, b_{1}, …, b_{n}, a_{k} (k ∈ IN) aus {0, 1, …, 9} mit folgenden Eigenschaften:

i) a_{k} ≠ 9 für unendlich viele k ∈ IN.

ii) x = b_{n}10^{n} + b_{n−1}10^{n−1} + … + b_{1}10^{1} + b_{0}10^{0} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k}10^{−k} = b_{n}b_{n−1} … b_{1}b_{0}, a_{1}a_{2}a_{3} …

\underline{Bew:} Es ist x = ⌊x⌋ + y mit 0 ≤ y < 1. Die Darstellung für ⌊x⌋ ∈ IN_{0} ergibt sich aus (9.22), die von y aus (16.29).

Frage: Läßt sich an der Dezimalbruchdarstellung einer reellen Zahl x erkennen, ob x eine rationale Zahl ist?

Bei früheren Beispielen hatten wir gesehen, daß rationale Zahlen periodische Dezimalbruchentwicklungen hatten. Beispiele hierfür sind:

\frac{1}{3} = 0, 333333333 … = 0, \overline{3} \frac{4}{33} = 0, 1212121212 … = 0, \overline{12}

\frac{1}{8} = 0, 1250000000000 … 0, 3478213821382138 … = 0, 347\overline{8213}

Bei einem periodischen Dezimalbruch wiederholen sich von einer Stelle ab ein oder mehrere Ziffern periodisch.

\underline{(16.31) DEF:} Ein Dezimalbruch ∑_{k=0}^{∞} a_{k}10^{−k} heißt periodisch, wenn es eine natürliche Zahl p ∈ IN gibt mit

a_{k+p} = a_{k} für fast alle k ∈ IN

\underline{(16.32) SATZ:} Für eine reelle Zahl x ≥ 0 sind folgende Aussagen äquivalent:

a) x ist rational

b) Die Dezimalbruchentwicklung von x ist periodisch.

\underline{Bew:} An Stelle eines formalen Beweises erklären wir die Methode an konkreten Beispielen. \underline{a) ⟹ b)}

Wir wandeln die rationale Zahl \frac{41}{35} in einen Dezimalbruch um. Dazu führen wir Divisionen mit Rest aus:

41 = 1 · 35 + 6
10 · 6 = 60 = 1 · 35 + 25
10 · 25 = 250 = 7 · 35 + 5
10 · 5 = 50 = 1 · 35 + 15
10 · 15 = 150 = 4 · 35 + 10
10 · 10 = 100 = 2 · 35 + 30
10 · 30 = 300 = 8 · 35 + 20
10 · 20 = 200 = 5 · 35 + 25
10 · 25 = 250 = 7 · 35 + 5

Damit erhalten wir: \frac{41}{35} = 1, 1\overline{714285}.

\underline{b) ⟹ a)} Wir wollen x = 0, 2\overline{21} = 0, 2212121212121212 … in einen Bruch verwandeln:

x = \frac{2}{10} + \underline{\underline{\frac{2}{10^{2}}}} + \frac{1}{10^{3}} + \underline{\underline{\frac{2}{10^{4}}}} + \frac{1}{10^{5}} + \underline{\underline{\frac{2}{10^{6}}}} + \frac{1}{10^{7}} + …

=^{∗)} \frac{2}{10} + \frac{2}{10^{2}} (1 + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + …) + \frac{1}{10^{3}} (1 + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + …)

= \frac{2}{10} + (\frac{2}{10^{2}} + \frac{1}{10^{3}} ) (1 + \frac{1}{10^{2}} + \frac{1}{10^{4}} + \frac{1}{10^{6}} + …)

= \frac{2}{10} + \frac{21}{10^{3}} ∑_{k=0}^{∞} (\frac{1}{10^{2}} )^{k} = \frac{2}{10} + \frac{21}{10^{3}} · \frac{1}{1 − \frac{1}{100}} = \frac{2}{10} + \frac{21}{10^{3}} · \frac{100}{99}

= \frac{2}{10} + \frac{7}{10} · \frac{1}{33} = \frac{2}{10} + \frac{7}{330} = \frac{66 + 7}{330} = \underline{\underline{\frac{73}{330}}}

∗) Umordnung einer absolut konvergenten Reihe nach (16.17)

\underline{(16.33) BEM:} An Stelle der Zahl 10 kann man irgendeine natürliche Zahl b ≥ 2 als Basiszahl für die Darstellung von reellen Zahlen benutzen. Im Falle b = 2 z.B. erhält man die Dualbruchentwicklung einer reellen Zahl. Die vorangegangenen Überlegungen lassen sich leicht übertragen: Bei einer Basiszahl b ≥ 2 werden als Ziffern die Zahlen 0, 1, 2, …, b − 1 benutzt und man schreibt

∑_{k=1}^{∞} a_{k}b^{−k} = (0, a_{1}a_{2}a_{3} …)_{b}

Dem Satz (16.30) entspricht dann das folgede Ergebnis:

SATZ: Entwicklung einer reellen Zahl zur Basis b

Zu jeder reellen Zahl x ≥ 0 gibt es ein n ∈ IN_{0} und eindeutig bestimmte Zahlen c_{0}, c_{1}, …, c_{n}, a_{k}(k ∈ IN) aus {0, 1, …, b − 1} mit folgenden Eigenschaften:

i) a_{k} ≠ b − 1 für unendlich viele k ∈ IN.

ii) x = c_{n}b^{n} + c_{n−1}b^{n−1} + … + c_{1}b^{1} + c_{0}b^{0} + ∑_{k=1}^{∞} a_{k}b^{−k} = (c_{n}c_{n−1} … c_{1}b_{0}, a_{1}a_{2}a_{3} …)_{b}

Auch die anderen Ergebnisse gelten analog, insbesondere auch (16.32).