§15 Konvergente Folgen

\underline{Problemstellung}: Bisher haben wir die reellen Zahlen als (abstrakt) gegebene Größen angesehen. Wir wollen nun aber die Frage nach dem ”numerischen Wert“ einer reellen Zahl, z.B. \sqrt{2} , stellen. Jede reelle Zahl läßt sich als Dezimalbruch darstellen (Um das richtig einzusehen, benötigen wir die Theorie der unendlichen Reihen aus §9.) Eine Zahl wie \sqrt{2} läßt sich dann allerdings nicht mehr in endlich vielen Schritten exakt berechnen, sondern immer nur beliebig genau annähern (approximieren), wobei aber immer noch ein beliebig kleiner Fehler auftritt. Wir wollen den numerischen Wert von \sqrt{2} bestimmen. Bekannt ist:

\sqrt{2} ∈ IR\ Q (\sqrt{2})^{2} = 2 1 < \sqrt{2} < 2

Wir werden eine ”Folge“ von reellen Zahlen angeben, die sich immer genauer \sqrt{2} annähern: Die reellen Zahlen a_{n} (n ∈ IN) seien rekursiv definiert durch

a_{1} := 1 a_{n+1} := \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{2}{a_{n}} ) (∀ n ∈ IN)

Die Rechnung für die ersten Zahlen ergibt:

\begin{matrix}n & a_{n} & a_{n}^{2} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1.5 & 2.25 \\ 3 & 1.4166666666666666667 & 2.0069444444444444445 \\ 4 & 1.4142156862745098039 & 2.0000060073048827373 \\ 5 & 1.4142135623746899106 & 2.0000000000045109504 \\ 6 & 1.4142135623730950488 & 2.0000000000000000000 \end{matrix}

Wir sehen, daß sich a_{n}^{2} immer genauer 2 nähert, so daß sich die Zahlen a_{n} immer genauer \sqrt{2} nähern. Man sagt dann auch, daß die Folge (a_{n}) gegen \sqrt{2} ”konvergiert“. Innerhalb der Rechengenauigkeit ( 20 Stellen hier ) gilt also a_{6}^{2} = 2 und damit a_{6} = \sqrt{2}. Dies kann aber nicht der exakte Wert sein, denn a_{n} ∈ Q ∀n ∈ IN aber \sqrt{2} ∉ Q. Mit größer werdendem n nähern sich die Folgenglieder immer genauer dem Wert \sqrt{2} oder: der Abstand der Folgenglieder zu \sqrt{2} kann beliebig klein gemacht werden.

Wir wollen jetzt eine mathematische Präzisierung der erwähnten Begriffe vornehmen. Aus Gründen, die erst bei späteren Anwendungen klar werden, werden wir dies im Bereich der komplexen Zahlen tun.

Der Betrag einer komplexen Zahl z = a + bi ∈ C ist definiert durch

|z| = \sqrt{a^{2} + b^{2}}

(dies schließt die Definition für den Betrag einer reellen Zahl mit ein) und |z − w| ist der Abstand zweier komplexer Zahlen.

Bei einer Folge a_{1}, a_{2}, a_{3}, … von Zahlen sind unendlich viele komplexe Zahlen in einer bestimmten Reihenfolge vorgegeben (diese ist durch die Indizierung festgelegt).

Beispiele für Folgen

1) a_{n} = \frac{1}{n}  (n ∈ IN)  1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, …
2) a_{n} = \frac{1}{n^{2}}  (n ∈ IN)  1, \frac{1}{4}, \frac{1}{9}, \frac{1}{16}, \frac{1}{25}, …
3) a_{n} = n  (n ∈ IN)  1, 2, 3, 4, 5, …
4) a_{n} = (−1)^{n}  (n ∈ IN)  −1, 1, −1, 1, −1, … (unendlich viele Folgenglieder!)
5) a_{n} = 3  (n ∈ IN)  3, 3, 3, 3, 3, …  (konstante Folge,unendlich viele

Folgenglieder)

6) a_{n} = \frac{n − 1}{n}  (n ∈ IN)  0, \frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \frac{4}{5}, …
7) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} (n ∈ IN)  −1, \frac{1}{2}, −\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, −\frac{1}{5}, …

8) a_{1} = 1, a_{n} = \sqrt{1 + a_{n−1}} (n ∈ IN, n ≥ 2) 1, \sqrt{2}, \sqrt{1 + \sqrt{2}}, \sqrt{1 + \sqrt{1 + \sqrt{2}}}, … ( rekursive Definition )

9) a_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n}i (n ∈ IN)

Die Zahlen a_{n} liegen auf der Winkelhalbierenden des 1. Quadranten der Gauß’schen Zahlenebene.

10) a_{n} = \frac{2}{n} + \frac{(−1)^{n}}{2^{n}} i

11) a_{n} = \frac{1}{n} cos(\frac{1}{n}) + \frac{1}{n} sin(\frac{1}{n})i

Bei einer Folge komplexer Zahlen ist also jedem n ∈ IN eine komplexe Zahl a_{n} zugeordnet. Man hat es also genaugenommen mit einer Abbildung f : IN ⟶ C (n ↦ a_{n}), oder f : IN_{0} ⟶ C (n ↦ a_{n}) zu tun.

\underline{(15.1) DEF:} Eine (unendliche) Folge komplexer Zahlen ist eine Abbildung f : IN ⟶ C

Schreibweise: f = (a_{n})_{n∈IN} mit a_{n} := f (n). Man nennt a_{n} das n–te Folgenglied. Sind alle Folgenglieder einer Folge reelle Zahlen, so spricht man von einer (unendlichen) Folge reeller Zahlen.

Entsprechend kann man eine Folge von Elementen aus einer Menge M als eine Abbildung f : IN ⟶ M definieren. Schauen wir uns einige der obigen Beispiele etwas genauer an:

1) a_{n} = \frac{1}{n} Die Folgenglieder kommen auf der reellen Achse von rechts der Zahl 0 beliebig nahe, ohne sie zu erreichen.

7) a_{n} = \frac{(−1)^{n}}{n} Annäherung an 0 von beiden Seiten auf der reellen Achse. Dies können wir auch so interpretieren: In jedem offenen Intervall ] − r, r[ mit r ∈ IR, r > 0 liegen von einem Index an alle Folgenglieder, oder in jedem solchen Intervall liegen fast alle Folgenglieder. Höchstens endlich viele Folgenglieder liegen außerhalb.

6) a_{n} = \frac{n − 1}{n} Annäherung an 1 von links.

9) Hier können wir sagen, daß in jedem Kreis K_{r}(0) = {z|z ∈ C, |z −0| < r} um 0 mit Radius r ∈ IR_{>0} von einer Stelle ab alle Folgenglieder liegen.

Wir kommen nun zu der grundlegenden Definition der Konvergenz einer Folge:

\underline{(15.2) DEF:} Eine Folge (a_{n})_{n∈IN} heißt konvergent , wenn es eine komplexe Zahl a ∈ C gibt, so daß gilt: zu \underline{jedem} ε ∈ IR_{>0} existiert ein Index n_{0} (ε) ∈ IN mit der Eigenschaft:

|a_{n} − a| < ε für alle n ∈ IN mit n ≥ n_{0} (ε).

Man sagt dann auch, daß die Folge (a_{n}) gegen a konvergiert, und a heißt Grenzwert oder Limes der Folge (a_{n})_{n∈IN}. Eine Folge, die gegen 0 konvergiert heißt eine Nullfolge. Eine Folge, die nicht konvergent ist, heißt divergent.

\underline{(15.3) BEM:} Wir schreiben die Definition formal auf: Die Folge (a_{n})_{n∈IN} komplexer Zahlen heißt konvergent, wenn gilt:

∃a ∈ C ∀ε ∈ IR_{>0} ∃n_{0} (ε) ∈ IN ∀n ∈ IN : n ≥ n_{0} ⟹ |a_{n} − a| < ε

In dieser Form läßt sich einfacher sagen, was es bedeutet, daß eine Folge nicht konvergent ist: ∀a ∈ C ∃ε ∈ IR_{>0} ∀n ∈ IN ∃m ∈ IN : m ≥ n ∧ |a_{n} − a| ≥ ε

\underline{Weitere Anmerkungen}:

1) Mit dieser Definition wird mathematisch die anschauliche Vorstellung zum Ausdruck gebracht, daß die Folgenglieder einer konvergenten Folge dem Grenzwert beliebig nahe kommen. Da ε > 0 beliebig ist, kann man ε sehr klein wählen, etwa ε = 10^{−10} oder ε = 10^{−100}, und der Abstand der Folgenglieder zum Grenzwert wird dann von einer Stelle ab < 10^{−100}. ε ist so eine Art Fehlerschranke.

2) Der Index n_{0} (ε) ist von ε abhängig: i.a. wird n_{0} (ε) umso größer, je kleiner ε ist.

3) Das Problem bei der Anwendung der Definition für die Konvergenz einer Folge liegt darin, daß man zunächst den Grenzwert kennen oder zumindest vermuten muß. Dies ist aber häufig nicht der Fall: Was ist etwa der Grenzwert der rekursiv definierten Folge (a_{n}) mit a_{1} = 1, a_{n+1} = \sqrt{1 + a_{n}}, falls er überhaupt existiert ( Grenzwert ist \frac{1}{2} (1 + \sqrt{5}) )? Später, nach Entwicklung der nötigen Theorie, lernen wir Kriterien kennen, die aus ”internen“ Eigenschaften einer Folge auf deren Konvergenz schließen lassen.

(15.4) BEISPIEL:

a) (\frac{1}{n})_{n∈IN} ist eine Nullfolge.

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II (SS 2001) 4 zz: zu jedem ε ∈ IR_{>0} existiert ein n_{0} (ε) ∈ IN mit |\frac{1}{n} − 0| < ε für alle n ≥ n_{0} (ε). Sei ε ∈ IR_{>0} beliebig. Es gilt |\frac{1}{n} − 0| = |\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}, da \frac{1}{n} > 0. ( Hilfsüberlegung: 0 < \frac{1}{n} < ε ⟺^{Aufg.16)} 0 < \frac{1}{ε} < n) Sei n_{0} (ε) := ⌊\frac{1}{ε}⌋ + 1. Für alle n ≥ n_{0} (ε) gilt dann n ≥ n_{0} (ε) = ⌊\frac{1}{ε}⌋ + 1 > \frac{1}{ε} > 0 also n > \frac{1}{ε} > 0 und damit \frac{1}{n} < ε ( Für n_{0} (ε) kann man auch jede natürliche Zahl > ⌊\frac{1}{ε}⌋ + 1 wählen! ) Konkret: ε = \frac{1}{5} , es gilt n_{0} (ε) := 6 \frac{1}{n} < ε für alle n ≥ 6 Man könnte aber auch n_{0} (ε) = 10 oder 999 setzen! Für ε = 10^{−3} ist n_{0} (ε) := 1001 .

b) Die Folge ((−1)^{n})_{n∈IN} ist divergent! a_{n} := (−1)^{n} Annahme: Die Folge konvergiert gegen den Grenzwert a ∈ IR. Wähle ε := \frac{1}{2}. Dann existiert n_{0} (\frac{1}{2}) ∈ IN mit |a_{n} − a| < \frac{1}{2} für alle n ≥ n_{0} (\frac{1}{2}).

2 = |a_{n} − a_{n+1}| = |(a_{n} − a) + (a − a_{n+1})| ≤^{Dreiecksunglchg.} |a_{n} − a| + |a − a_{n+1}| < \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1

für n ≥ n_{0} (ε). Folglich 2 < 1 Widerspruch!

c) Die konstante Folge (a_{n}) mit a_{n} = c ∀n ist konvergent mit c als Grenzwert. Sei ε ∈ IR_{>0} beliebig. Dann gilt |a_{n} − c| = |c − c| = 0 < ε für alle n ∈ IN . Setze also n_{0} (ε) := 1 für beliebiges ε ∈ IR_{>0}.

d) Die Folge (\frac{n − 1}{n})_{n∈IN} konvergiert gegen 1

Sei ε ∈ IR_{>0} beliebig. |\frac{n − 1}{n} − 1| = |−\frac{1}{n}| = \frac{1}{n}

Da (\frac{1}{n}) eine Nullfolge ist (s.o.), existiert ein n_{0} (ε) ∈ IN mit \frac{1}{n} < ε für alle n ≥ n_{0} (ε). Es folgen einige wichtige Sätze über konvergente Folgen.

\underline{(15.5) SATZ:} Eine konvergente Folge (a_{n})_{n∈IN} besitzt genau einen Grenzwert a. \underline{Bezeichnung}: a := lim_{n→∞} a_{n} \underline{Bew:} a und b seien Grenzwerte von (a_{n}). Zz: a = b. Annahme: a ≠ b ⟹ ε := |a − b| > 0 Es gibt n_{1} ∈ IN mit |a_{n} − a| < \frac{ε}{2} für alle n ≥ n_{1} und n_{2} ∈ IN mit |a_{n} − b| < \frac{ε}{2} für alle n ≥ n_{2}. Sei n_{0} := max (n_{1}, n_{2}). Dann gelten insbesondere für n = n_{0} beide Ungleichungen:

|a_{n_{0}} − a| < \frac{ε}{2} , |a_{n_{0}} − b| < \frac{ε}{2}

Mit a − b = (a − a_{n_{0}}) + (a_{n_{0}} − b) folgt

ε = |a − b| = |(a − a_{n_{0}}) + (a_{n_{0}} − b)| ≤^{Dreiecksunglchg.} |a − a_{n_{0}}| + |a_{n_{0}} − b| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

Also ε < ε . Widerspruch! Folglich a = b . ■

\underline{(15.6) DEF:} Eine Folge (a_{n}) heißt beschränkt, wenn es ein K ∈ IR_{>0} gibt mit |a_{n}| ≤ K ∀n ∈ IN.

\underline{Beispiele}: (\frac{(−1)^{n}}{n} )_{n∈IN} ist beschränkt; denn |\frac{(−1)^{n}}{n} | = \frac{1}{n} ≤ 1 ∀n ∈ IN.

Die Folge (n)_{n∈IN} ist nicht beschränkt.

\underline{(15.7) SATZ:} Jede konvergente Folge ist beschränkt.

\underline{Bew:} Sei a := lim_{n→∞} a_{n} . Zu ε := 1 ∈ IR_{>0} exstiert ein n_{0} = n_{0} (1) ∈ IN mit |a_{n} − a| < 1 für alle n ≥ n_{0} |a_{n}| = |(a_{n} − a) + a| ≤ |a_{n} − a| + |a| < 1 + |a| für alle n ≥ n_{0} Sei K := max (|a_{1}| , |a_{2}| , …, |a_{n_{0}−1}| , 1 + |a|). Dann ist K ∈ IR_{>0}, und es gilt |a_{n}| ≤ K für alle n ∈ IN, d.h. die Folge (a_{n}) ist beschränkt. ■

\underline{Anwendung}: Die Folgen (n)_{n∈IN} und (2^{n})_{n∈IN} sind divergent, da sie unbeschränkt sind. Allgemein: Jede unbeschränkte Folge ist divergent.

(15.8) Grenzwertsätze für konvergente Folgen

(a_{n}) und (b_{n}) seien \underline{konvergente} Folgen mit lim_{n→∞} a_{n} =: a und lim_{n→∞} b_{n} =: b. Dann gilt:

a) Die Summenfolge (a_{n} + b_{n}) ist wieder konvergent, und es ist lim_{n→∞} (a_{n} + b_{n}) = a + b.

b) Die Produktfolge (a_{n}b_{n}) ist wieder konvergent, und es ist lim_{n→∞} (a_{n}b_{n}) = a · b.

c) Ist b ≠ 0, so gibt es ein m ∈ IN mit b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ m. Die Quotientenfolge (\frac{a_{n}}{b_{n}} )_{n≥m}

ist wieder konvergent, und es ist lim_{n→∞} (\frac{a_{n}}{b_{n}} ) = \frac{a}{b}.

\underline{Bew:} von (15.8) (in der Vorlesung nur skizziert!)

a) Sei ε ∈ IR_{>0} beliebig. Zu zeigen: es existiert ein n_{0} ∈ IN mit |(a_{n} + b_{n}) − (a + b)| < ε für alle n ≥ n_{0} (ε). |(a_{n} + b_{n}) − (a + b)| = |(a_{n} − a) + (b_{n} − b)| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b|

Mit ε ∈ IR_{>0} gilt auch ε′ := \frac{ε}{2} ∈ IR_{>0}

Nach Voraussetzung gibt es n_{1} (ε′) und n_{2} (ε′) ∈ IN mit |a_{n} − a| < ε′ für alle n ≥ n_{1} (ε′) und |b_{n} − b| < n_{2} (ε′) für alle n ≥ n_{2} (ε′).

Für n ≥ n_{0} (ε) := max (n_{1} (ε′) , n_{2} (ε′)) gelten dann beide Ungleichungen, d.h.

|(a_{n} + b_{n}) − (a + b)| ≤ |a_{n} − a| + |b_{n} − b| < ε′ + ε′ = \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε für alle n ≥ n_{0} (ε).

b) Sei ε ∈ IR_{>0} beliebig. Z.z.: es existiert ein ε ∈ IR_{>0} ∈ IN mit |a_{n}b_{n} − ab| < ε für alle n ≥ n_{0} (ε). a_{n}b_{n} − ab = a_{n}b_{n} − a_{n}b + a_{n}b − ab = a_{n} (b_{n} − b) + (a_{n} − a) b ⟹ |a_{n}b_{n} − ab| ≤ |a_{n} (b_{n} − b)| + |(a_{n} − a) b| = |a_{n}| |b_{n} − b| + |a_{n} − a| |b| (a_{n}) ist nach (15.7) beschränkt, d.h. es existiert ein K ∈ IR_{>0} mit |a_{n}| ≤ K für alle n ∈ IN. Sei L := max (K, |b|) (⟹ L ∈ IR_{>0}). Für genügend großes n gilt: |b_{n} − b| < ε, |a_{n} − a| < ε,

also |a_{n}| |b_{n} − b| + |a_{n} − a| |b| < K · ε + ε · |b| ≤^{L:=max(K,|b|)} L · ε + ε · L = 2εL

Nach Voraussetzung gibt es n_{1}, n_{2} ∈ IN mit

|a_{n} − a| < \frac{ε}{2L} für alle n ≥ n_{1}, |b_{n} − b| < \frac{ε}{2L} für alle n ≥ n_{2}

Sei n_{0} := max (n_{1}, n_{2}). Für alle n ≥ n_{0} gilt dann

|a_{n}b_{n} − ab| ≤ |a_{n}| |b_{n} − b| + |a_{n} − a| |b| < \overbrace{L}^{|a_{n}|≤K≤L} ·\frac{ε}{2L} + \frac{ε}{2L}· \overbrace{L}^{|b|≤L}= \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} < ε ,

d.h. die Folge (a_{n} · b_{n})_{n∈IN} konvergiert gegen a · b.

c) b ≠ 0 ⟹ |b| > 0.

Sei ε := \frac{|b|}{2} ∈ IR_{>0}. Dann gibt es ein m ∈ IN mit |b_{n} − b| < ε für alle n ≥ m.

|b| − |b_{n}| ≤^{(1.15g)} |b − b_{n}| = |b_{n} − b| < ε = \frac{|b|}{2} für alle n ≥ m ⟹ − |b_{n}| < −\frac{|b|}{2}

⟹ |b_{n}| > \frac{|b|}{2} > 0 ⟹ \underline{b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ m}

Nach b) genügt es zu zeigen, daß mit (b_{n}) auch die Folge (\frac{1}{b_{n}} ) konvergent ist und gegen \frac{1}{b} konvergiert. b ≠ 0 ⟹ b_{n} ≠ 0 für alle n ≥ m ⟹ \frac{1}{b_{n}} läßt sich für n ≥ m bilden! Wir betrachten zunächst den Fall \underline{b_{n} ≠ 0 für alle n ∈ IN}:

zz: Zu beliebigem ε ∈ IR_{>0} existiert n_{0} (ε) ∈ IN mit |\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| < ε für alle n ≥ n_{0} (ε).

|\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| = |\frac{b − b_{n}}{b_{n}b} | = \frac{1}{|b_{n}| |b|} |b − b_{n}|

Wie oben folgt |b_{n}| > \frac{|b|}{2} > 0 für alle n ≥ m, d.h. \frac{1}{|b_{n}|} < \frac{1}{|b|} ∀n ≥ m.

Für genügend großes n gilt daher: \frac{1}{|b_{n}| |b|} |b − b_{n}| < \frac{2}{|b| |b|}ε

Genauer: Zu ε′ := \frac{|b|^{2}}{2} ε ∈ IR_{>0} existiert n_{1} ∈ IN mit |b_{n} − b| = |b − b_{n}| < ε′ für alle n ≥ n_{1}. Sei n_{0} := max (m, n_{1}). Für alle n ≥ n_{0} gilt dann

|\frac{1}{b_{n}} − \frac{1}{b}| = \frac{|b − b_{n}|}{|b_{n}| |b|} < \frac{2}{|b|} \frac{1}{|b|}ε′ = \frac{2}{|b|^{2}} (\frac{|b|^{2}}{2} ε) = ε

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II (SS 2001) 7

Damit konvergiert (\frac{1}{b_{n}} ) gegen \frac{1}{b}. Nach b) konvergiert die Folge (\frac{a_{n}}{b_{n}} ) = (a_{n} · \frac{1}{b_{n}} ) gegen a · \frac{1}{b} = \frac{a}{b}. Gilt b_{n} ≠ 0 erst von einer Stelle m ab, so betrachten wir die Folge (\frac{1}{b_{n}} )_{n≥m}. Auch die Folge (b_{n})_{n≥m} konvergiert gegen b. In den vorherigen Überlegungen ist nur sicherzustellen, daß alle Indizes n_{1}, n_{0} auch ≥ m sind. ■

Beispiele: a) (\frac{n + 1}{n})_{n∈IN} = (1 + \frac{1}{n})_{n∈IN} ist Summe aus der konstanten Folge (1) und der Nullfolge (\frac{1}{n}). Damit ist die Folge konvergent, und es gilt:

lim (\frac{n + 1}{n}) = lim (1 + \frac{1}{n}) = 1 + 0 = 1

b) (\frac{n − 1}{2n + 5}) = (\frac{1 − \frac{1}{n}}{2 + \frac{5}{n}} )

Im Zähler und Nenner stehen konvergente Folgen, im Nenner gilt 2 + \frac{5}{n} ≠ 0 für alle n ∈ IN und

lim (2 + \frac{5}{n}) =^{∗)} 2 ≠ 0, also lim \frac{n − 1}{2n + 5} = lim \frac{1 − \frac{1}{n}}{2 + \frac{5}{n}} = \begin{matrix}lim & (1 − \frac{1}{n}) \\ lim & (2 + \frac{5}{n}) \end{matrix} = \frac{1}{2}

∗) (2 + \frac{5}{n}) ist die Summe zweier konvergenter Folgen: (\frac{1}{n}) Nullfolge, (5) konvergent ⟹^{(15.8b)} (5 · \frac{1}{n}) ist konvergent mit Grenzwert 5 · 0 = 0.

\underline{BEM:} Die Summenfolge (a_{n} + b_{n}) (bzw. die Produktfolge (a_{n}b_{n}) ) kann konvergent sein, ohne daß die Folgen (a_{n}) oder (b_{n}) konvergent sind. \underline{Frage:} Für welche a ∈ C ist die Folge (a^{n})_{n∈IN} konvergent?

a = \frac{1}{2}  \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{8}, \frac{1}{16}, \frac{1}{32}, …  ⟶ 0
a = −\frac{1}{3}  −\frac{1}{3}, \frac{1}{9}, −\frac{1}{27}, \frac{1}{81}, −\frac{1}{243}, …  ⟶ 0
a = 1  1, 1, 1, 1, 1, …  ⟶ 1
a = −1  −1, 1, −1, 1, −1, …  divergent
a = i  i, −1, −i, 1, i, …  divergent
a = 2  2, 4, 8, 16, 32, …  unbeschränkt
a = −2  −2, 4, −8, 16, −32, …  unbeschränkt

Um diese Frage exakt beantworten zu können, benötigen wir folgende Ungleichung.

(15.9) Bernoullische Ungleichung:

Für alle n ∈ IN_{0} und a ∈ IR, a ≥ −1 gilt: (1 + a)^{n} ≥ 1 + na

\underline{Bew:} (Induktion nach n) n = 0 √

n ⟶ n + 1: 1 + a ≥ 0

(1 + a)^{n+1} = (1 + a)^{n} (1 + a) ≥^{(IV)} (1 + na) (1 + a) = 1 + (n + 1) a+ \overbrace{na^{2}}^{≥0}≥ 1 + (n + 1) a ■

\underline{(15.10) SATZ:} Sei a ∈ C. Dann gilt:

a) lim_{n→∞} (a^{n}) = 0 für |a| < 1

b) (a^{n}) ist unbeschränkt (und damit divergent) für |a| > 1.

c) |a| = 1 : (a_{n}) konvergent ⟺ a = 1.

\underline{(15.11) SATZ:} Sei (z_{n})_{n∈IN} eine Folge komplexer Zahlen z_{n} mit z_{n} = a_{n} + ib_{n} (a_{n}, b_{n} ∈ IR). Dann gilt:

a) (z_{n}) ist genau dann konvergent, wenn die beiden reellen Folgen (a_{n}) und (b_{n}) konvergent sind.

b) Konvergiert (z_{n}) gegen w, (a_{n}) gegen a und (b_{n}) gegen b, so folgt w = a + ib.

d.h. lim_{n→∞} z_{n} = lim_{n→∞} a_{n} + i lim_{n→∞} b_{n}.

Dieser Satz ermöglicht es, Fragen nach der Konvergenz von Folgen mit komplexen Gliedern auf die von Folgen mit reellen Gliedern zurückzuführten. Wie wir im folgenden sehen werden, gibt es für Folgen mit reellen Gliedern noch weitere Kriterien, bei denen insbesondere die Anordnung der reellen Zahlen eine Rolle spielt. Diese Anordnung ist nach (14.11) für komplexe Zahlen nicht gegeben. Das Problem bei der Anwendung der Definition (15.2) besteht darin, daß erst einmal der Grenzwert der Folge bekannt sein muß . Diesen zu finden, ist häufig sehr schwierig, und man versucht daher, Kriterien für die Konvergenz herzuleiten, die es ermöglichen, aus internen Eigenschaften der Folge auf die Konvergenz zu schließen.

Folgen reeller Zahlen

\underline{(15.12) SATZ:} Einschließungssatz

(a_{n}), (b_{n}), (c_{n}) seien Folgen reeller Zahlen mit a_{n} ≤ b_{n} ≤ c_{n} (∀ n ∈ IN). Konvergieren dann die Folgen (a_{n}) und (c_{n}) gegen denselben Grenzwert a, so ist auch die Folge (b_{n}) konvergent und hat ebenfalls den Grenzwert a.

Beispiel: Ist die Folge (\frac{1}{2^{n} + 1}) konvergent?

Es gilt 0 ≤ \frac{1}{2^{n} + 1} ≤ \frac{1}{n}, so daß die Folge (\frac{1}{2^{n} + 1}) von den beiden Nullfolgen (0) und (\frac{1}{n})

eingeschlossen wird. Dann ist auch die mittlere Folge konvergent, und es gilt lim_{n→∞} \frac{1}{2^{n} + 1} = 0.

\underline{(15.13) DEF:} Sei M ⊆ IR eine nichtleere Teilmenge.

a) t ∈ IR heißt obere Schranke von M, wenn gilt: x ≤ t ∀x ∈ M Besitzt M eine obere Schranke, so heißt M nach oben beschränkt.

b) Eine obere Schranke s ∈ IR von M heißt Supremum von M, wenn s die \underline{kleinste obere Schranke} von M ist, d.h. ∀t ∈ IR, t obere Schranke von M ⟹ s ≤ t

Analog: untere Schranke von M, nach unten beschränkt, Infimum von M = größte untere Schranke von M.

Beispiele: a) Sei M := \{\frac{1}{n}|n ∈ IN\} ⊆ IR. Dann ist 0 das Infimum und 1 das Supremum von M.

b) Sei M :=]1, 2[ = {x|x ∈ IR, 1 < x < 2} ⊆ IR (offenes Intervall). Dann ist 1 das Infimum und 2 das Supremum von M.

\underline{(15.14) Vollständigkeitsaxiom für (IR, ≤)} Es gilt:

a) Jede nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von IR besitzt ein Supremum.

b) Jede nichtleere, nach unten beschränkte Teilmenge von IR besitzt ein Infimum.

\underline{BEM:} Man kann b) aus a) folgern.

Beispiele: a) (\frac{n + 1}{n})_{n∈IN} = (1 + \frac{1}{n})_{n∈IN} ist Summe aus der konstanten Folge (1) und

der Nullfolge (\frac{1}{n}). Damit ist die Folge konvergent, und es gilt:

lim (\frac{n + 1}{n}) = lim (1 + \frac{1}{n}) = 1 + 0 = 1

b) (\frac{n − 1}{2n + 5}) = (\frac{1 − \frac{1}{n}}{2 + \frac{5}{n}} )

Im Zähler und Nenner stehen konvergente Folgen, im Nenner gilt 2 + \frac{5}{n} ≠ 0 für alle n ∈ IN und

lim (2 + \frac{5}{n}) =^{∗)} 2 ≠ 0, also lim \frac{n − 1}{2n + 5} = lim \frac{1 − \frac{1}{n}}{2 + \frac{5}{n}} = \begin{matrix}lim & (1 − \frac{1}{n}) \\ lim & (2 + \frac{5}{n}) \end{matrix} = \frac{1}{2}

∗) (2 + \frac{5}{n}) ist die Summe zweier konvergenter Folgen: (\frac{1}{n}) Nullfolge, (5) konvergent ⟹^{(15.8b)}

(5 · \frac{1}{n}) ist konvergent mit Grenzwert 5 · 0 = 0.

\underline{(15.15) DEF:} Sei (a_{n}) eine Folge reeller Zahlen.

a) (a_{n}) heißt nach oben (bzw. unten) beschränkt wenn es ein K ∈ IR gibt mit a_{n} ≤ K (bzw. a_{n} ≥ K) ∀n ∈ IN.

b) (a_{n}) heißt monoton wachsend (bzw. fallend), wenn gilt a_{n} ≤ a_{n+1} (bzw. a_{n} ≥ a_{n+1}) ∀n ∈ IN.

c) (a_{n}) heißt streng monoton wachsend (bzw. fallend), wenn gilt a_{n} < a_{n+1} (bzw. a_{n} > a_{n+1}) ∀n ∈ IN.

\underline{Beispiele:}

a) (n) ist nach unten, nicht nach oben beschränkt und streng monoton wachsend.

b) (\frac{1}{n}) ist streng monoton fallend, nach unten und nach oben beschränkt.

c) (a_{n}) beschränkt ⟺ (a_{n}) nach unten \underline{und} nach oben beschränkt.

\underline{(15.16) SATZ:} a) Jede monoton wachsende, nach oben beschränkte Folge (a_{n}) reeller Zahlen ist konvergent mit lim_{n→∞} (a_{n}) = sup{a_{n}|n ∈ IN} .

b) Jede monoton fallende, nach unten beschränkte Folge (b_{n}) reeller Zahlen ist konvergent mit

lim_{n→∞} (b_{n}) = inf{b_{n}|n ∈ IN} .

\underline{Bew:} M := \{a_{n}|n ∈ IN\} ⊆ IR ist eine nichtleere, nach oben beschränkte Teilmenge von IR. Nach (15.14) existiert s = sup (M) ∈ IR . Beh: s = lim (a_{n}) Sei ε > 0 beliebig. Dann existiert ein n_{0} ∈ IN mit s − ε < a_{n_{0}}. Sonst würde s − ε ≥ a_{n} ∀n ∈ IN gelten, d.h. s − ε ist obere Schranke von M mit s − ε < s. Widerspruch zu s = sup M. Also s − ε < a_{n_{0}} ≤ s. ∀n ≥ n_{0} gilt a_{n} ≥ a_{n_{0}}, da (a_{n}) monoton wachsend ist. ⟹ s − ε < a_{n_{0}} ≤ a_{n} ≤ s < s + ε ∀n ≥ n_{0} ⟹ s − ε < a_{n} < s + ε ∀n ≥ n_{0} ⟹ |a_{n} − s| < ε ∀n ≥ n_{0}. Damit ist die Behauptung bewiesen. Analog behandelt man den 2. Fall. Hierbei gilt lim_{n→∞} (b_{n}) = inf{b_{n}|n ∈ IN}. ■

\underline{Beispiele:} a) (\frac{1}{n}) ist monoton fallend, nach unten beschränkt 0 = inf \{\frac{1}{n} | n ∈ IN\}, also

lim (\frac{1}{n}) = 0.

b) (1 − \frac{1}{n}) ist monoton wachsend und nach oben beschränkt mit sup \{1 − \frac{1}{n} | n ∈ IN\} = 1 ,

also lim (1 − \frac{1}{n}) = 1

Wir behandeln im folgenden einige Beispiele ausführlicher.

\underline{(15.17) SATZ:} (Die Eulersche Zahl e) Sei a_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n} für alle n ∈ IN. Dann ist

die Folge (a_{n}) konvergent. Ihr Grenzwert wird mit e (Eulersche Zahl) bezeichnet.

(Leonhard Euler, 1707–1783)

\underline{Bew:} a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n} b_{n} := (1 + \frac{1}{n})^{n+1} (= a_{n} (1 + \frac{1}{n}))

1) (a_{n}) ist monoton wachsend: (1 − \frac{1}{n^{2}} )^{n} ≥ 1 + n (\frac{−1}{n^{2}}) = 1 − \frac{1}{n} ∀n ∈ IN (15.9)

⟹ (\frac{n^{2} − 1}{n^{2}})^{n} ≥ \frac{n − 1}{n} | · \frac{n^{n}}{(n − 1)^{n}}

⟹ a_{n} = \frac{(n + 1)^{n} (n − 1)^{n}}{n^{2n}} \frac{n^{n}}{(n − 1)^{n}} ≥ \frac{n − 1}{n} \frac{n^{n}}{(n − 1)^{n}} = (\frac{n}{n − 1})^{n−1} = a_{n−1}

d.h. a_{n} ≥ a_{n−1} ∀n ≥ 2

2) (b_{n}) ist monoton fallend (ähnlicher Beweis)

3) a_{1} ≤ a_{n} < b_{n} ≤ b_{1} ∀n ∈ IN, d.h. (a_{n}) und (b_{n}) sind beschränkt.

4) Nach (15.16) sind (a_{n}) und (b_{n}) konvergent. Seien a := lim (a_{n}) = sup{a_{n}|n ∈ IN}, b := lim (b_{n}) = inf{b_{n}|n ∈ IN} ⟹ a_{n} ≤ a ≤ b ≤ b_{n} ∀n ∈ IN (Aufg. 29a).

5) b_{n} − a_{n} = (1 + \frac{1}{n})^{n+1} − (1 + \frac{1}{n})^{n} = a_{n} (1 + \frac{1}{n} − 1) = \frac{a_{n}}{n} ∀n ∈ IN

(\frac{a_{n}}{n} ) ist eine Nullfolge, da (a_{n}) konvergent ist und somit nach (15.8 b)

lim (\frac{a_{n}}{n} ) = lim (a_{n}) · \overbrace{lim (\frac{1}{n})}^{=0}= 0 ⟹ 0 = lim (b_{n} − a_{n}) =^{(15.8a)} lim (b_{n}) − lim (a_{n}) = b − a

⟹ \underline{a = b =: e}

6) a_{n} ≤ e ≤ b_{n} ∀n ∈ IN (nach 4) und 5)). ■

Einige numerische Werte:

\begin{matrix}n & a_{n} & b_{n} \\ 1 & 2 & 4 \\ 10 & 2.5937424601000000000 & 2.8531167061100000000 \\ 100 & 2.7048138294215260933 & 2.7318619677157413542 \\ 1000 & 2.7169239322358924574 & 2.7196408561681283498 \\ 10 000 & \underline{2.718}1459268252248640 & \underline{2.718}4177414179073865 \end{matrix}

Ein genauerer Wert ist e = 2.7182818284590452354 . Wir stellen hier langsame Konvergenz fest. Später lernen wir eine bessere Berechnungsmöglichkeit mit Hilfe einer Reihe kennen.

\underline{(15.18) SATZ:} (Quadratwurzel) Sei c > 0 eine reelle Zahl. Die Folge (a_{n})_{n∈IN} sei rekursiv definiert durch :

a_{1} ∈ IR_{>0} beliebig , a_{n+1} := \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{c}{a_{n}} ) für n ∈ IN

Dann konvergiert die Folge (a_{n}) gegen \sqrt{c} > 0

\underline{Bew:} 1) a_{n} > 0 ∀n ∈ IN (Beweis durch Induktion nach n)

2) a_{n}^{2} ≥ c ∀n ∈ IN, n ≥ 2

a_{n}^{2} − c = \frac{1}{4} (a_{n−1} + \frac{c}{a_{n−1}} )^{2} − c = \frac{1}{4} (a_{n−1}^{2} + 2c + \frac{c^{2}}{a_{n−1}^{2}} − 4c) = \frac{1}{4} (a_{n−1} − \frac{c}{a_{n−1}} )^{2} ≥ 0

3) (a_{n}) ist monoton fallend (d.h. a_{n} ≥ a_{n+1} ∀n ≥ 2)

a_{n} − a_{n+1} = a_{n} − \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{c}{a_{n}} ) = \frac{1}{2}a_{n} − \frac{1}{2} \frac{c}{a_{n}} = \frac{1}{2a_{n}} \overbrace{(a_{n}^{2} − c)}^{≥0 nach 2)}≥ 0

Da (a_{n}) nach 3) monoton fallend und nach 1) nach unten beschränkt ist, ist (a_{n}) konvergent (15.16). Sei a := lim (a_{n}) = inf{a_{n}|n ∈ IN, n ≥ 2}

4) Sei b_{n} := \frac{c}{a_{n}}

Dann gilt b_{n} ≥ 0 ∀n ∈ IN nach 1) und b_{n}^{2} ≤ c ∀n ≥ 2.

a_{n}^{2} ≥ c ≥ 0 nach 2) ⟹ \frac{1}{a_{n}^{2}} ≤ \frac{1}{2} | · c^{2} ⟹ b_{n}^{2} = \frac{c^{2}}{a_{n}^{2}} ≤ \frac{c^{2}}{c} = c

5) b_{n} ≤ b_{n+1} ∀n ≥ 2, d.h. (b_{n}) ist monoton wachsend.

a_{n} ≥ a_{n+1} > 0 nach 3) ⟹ \frac{1}{a_{n}} ≤ \frac{1}{a_{n+1}} | · c ⟹ b_{n} = \frac{c}{a_{n}} ≤ \frac{c}{a_{n+1}} = b_{n+1}

6) b_{n} ≤ a_{n} ∀n ≥ 2 Sonst b_{m} > a_{m} für ein m ≥ 2 ⟹ b_{m}^{2} > a_{m}^{2} ≥ c nach 2). Widerspruch zu 4).

Insgesamt ergibt sich:

0 < b_{2} ≤^{6)} inf {a_{n}|n ≥ 2} = a ≤ a_{2} Also a ≠ 0.

Insbesondere ist auch die Folge (\frac{c}{a_{n}} ) konvergent mit Grenzwert \frac{c}{a}.

Aus a_{n+1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{c}{a_{n}} ) folgt mit den Grenzwertsätzen aus (15.8)

a = lim (a_{n+1}) = lim \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{c}{a_{n}} ) = \frac{1}{2} (lim (a_{n}) + lim (\frac{c}{a_{n}} )) = \frac{1}{2} (a + \frac{c}{a})

⟹ a = \frac{1}{2} (a + \frac{c}{a}) ⟹ \frac{1}{2}a = \frac{c}{2a} ⟹ \underline{a^{2} = c}

d.h. der Grenzwert a der Folge (a_{n}) ist eine Zahl, deren Quadrat gleich c ist. Das Polynom x^{2} − c ∈ IR [x] hat höchstens 2 Nullstellen. Da mit a auch −a Nullstelle ist, ist a also die eindeutig bestimmte positive Nullstelle von x^{2} − c, d.h. a = \sqrt{c}.

Zur Fehlerabschätzung benötigt man noch :

7) \frac{c}{a_{n}} ≤ a ≤ a_{n} ∀n ≥ 2

Annahme: \frac{c}{a_{m}} > a ⟹ b_{m}^{2} = \frac{c^{2}}{a_{m}^{2}} > a^{2} = c Widerspruch zu 4)

a = inf {a_{n}|n ≥ 2} ⟹ a ≤ a_{n} ∀n ≥ 2 ■ \underline{Numerisches Beispiel:} c = 3 a_{1} := 1

\begin{matrix}n & a_{n} & \frac{3}{a_{n}} \\ 1 & 2 & 1.5 \\ 2 & 1.7500000000000000000 & 1.7142857142857142857 \\ 3 & 1.7321428571428571429 & 1.7319587628865979381 \\ 4 & 1.7320508100147275405 & 1.7320508051230270500 \\ 5 & \underline{1.73205080756887729}53 & \underline{1.73205080756887729}18 \end{matrix}

Wir stellen schnelle Konvergenz fest. Nach 5 Schritten ist der Wert schon auf 17 Nachkommastellen exakt!

\underline{(15.19) BEM:} a) Mit diesem Ergebnis (15.18) ist überhaupt erst die Existenz von Quadratwurzeln aus Zahlen ≥ 0 in IR gesichert.

b) Mit ähnlichen Methoden kann man auch die Existenz von k-ten Wurzeln nachweisen. Sei c ∈ IR, c > 0. Die Folge (a_{n}) sei rekursiv definiert durch

a_{1} ∈ IR_{>0} beliebig, a_{n+1} = \frac{1}{k} [(k − 1) a_{n} + \frac{c}{a_{n}^{k−1}} ] (k ≥ 2 fest)

Dann konvergiert die Folge (a_{n}) gegen die eindeutig bestimmte reelle Zahl a > 0 mit a^{k} = c, d.h. a = ^{k} \sqrt{c}.

\underline{(15.20) SATZ:} a) ∀a ∈ IR_{>0} : lim_{n→∞} ( ^{n} \sqrt{a}) = 1 b) lim_{n→∞} ( ^{n} \sqrt{n}) = 1

\underline{Bew:} a) \underline{1. Fall:} \underline{a = 1} klar \underline{2. Fall:} \underline{a > 1} ⟹ ^{n} \sqrt{a} > 1 ⟹ b := ^{n} \sqrt{a} − 1 > 0.

Es ist also ^{n} \sqrt{a} = b + 1 ⟹ a = (b + 1)^{n} ≥ 1 + bn (8.9) ⟹ b ≤ \frac{a − 1}{n} mit a − 1 > 0

⟹ 0 <\overbrace{^{n} \sqrt{a} − 1}^{=b}≤ \frac{a − 1}{n} ist eine Nullfolge ⟹ ( ^{n} \sqrt{a} − 1) ist eine Nullfolge ⟺ ^{n} \sqrt{a} ⟶ 1 Folglich ist die Folge ( ^{n} \sqrt{a}) konvergent mit 1 als Grenzwert.

\underline{3. Fall:} \underline{0 < a < 1} Sei a_{n} := ^{n} \sqrt{a}. Dann gilt 0 < a_{n} < 1 ∀n ∈ IN. Die Folge (a_{n}) ist monoton wachsend, also konvergent mit 0 < a = a_{1} ≤ lim_{n→∞} (a_{n})

Sei b = \frac{1}{a} ⟹ b > 1 ⟹ ^{n} \sqrt{b} ⟶ 1 (2. Fall)

1 = lim_{n→∞} ( ^{n} \sqrt{b}) = lim_{n→∞} ( \frac{1}{\sqrt[n]{a}}) =^{lim ^{n} \sqrt{a}≠0,(15.8c)} \frac{1}{lim_{n→∞} \sqrt[n]{a}} ⟹ lim_{n→∞} ^{n} \sqrt{a} = 1

b) Sei a_{n} := ^{n} \sqrt{n} − 1. a_{n} ≥ 0 ∀n ∈ IN, a_{n} + 1 = ^{n} \sqrt{n}

⟹ n = (a_{n} + 1)^{n} = ∑_{k=0}^{n} \overbrace{\binom{n}{k}}^{≥0} \overbrace{a_{n}^{k}}^{≥0} ≥^{k=0,2} 1 + \binom{n}{2}a_{n}^{2} = 1 + \frac{n (n − 1)}{2}a_{n}^{2}

⟹ n − 1 ≥ \frac{n (n − 1)}{2}a_{n}^{2} ⟹ 1 ≥ \frac{n}{2}a_{n}^{2} ∀n ∈ IN ⟹ a_{n}^{2} ≤ \frac{2}{n} ⟹ 0 ≤ a_{n} ≤ \sqrt{\frac{2}{n}} ∀n ∈ IN

(\frac{2}{n}) Nullfolge ⟹ (\sqrt{\frac{2}{n}}) Nullfolge. Dann ist auch (a_{n}) eine Nullfolge mit a_{n} = ^{n} \sqrt{n} − 1 ⟹

( ^{n} \sqrt{n}) ⟶ 1. ■

\underline{Einführung der Symbole +∞, − ∞} Wir wollen die Symbole +∞ und −∞ einführen, die anschaulich an ein größtes bzw. kleinstes Element in IR erinnern sollen, obwohl es keine reellen Zahlen sind. Damit lassen sich viele Aussagen, die vom Verhalten für sehr große bzw. kleine reelle Zahlen handeln, einfacher und anschaulicher formulieren. Im Zusammenhang mit Intervallen definieren wir:

] a, +∞[ := {x | x ∈ IR, x > a} ⊆ IR (a ∈ IR)
] − ∞, b] := {x | x ∈ IR, x ≤ b} ⊆ IR (b ∈ IR)
] − ∞, +∞[ := IR

Bei divergenten Folgen können wir ein unterschiedliches Verhalten feststellen:

(n)  1, 2, 3, 4, …  ⟶ +∞
(−2^{n})  −2, −4, −8, −16, …  ⟶ −∞
((−1)^{n} n)  −1, 2, −3, 4, −5, …  auch unbeschränkt
((−1)^{n})  −1, 1, −1, 1, −1, …  beschränkt

[figure: !]

+∞ und −∞ sind Symbole und keine reellen Zahlen. Insbesondere sind keine Rechenoperationen mit diesen Symbolen erlaubt. Ausdrücke wie +∞ − (+∞) oder \frac{+∞}{+∞} sind sinnlos!

\underline{(15.21) DEF:} Eine Folge (a_{n}) reeller Zahlen heißt bestimmt divergent gegen +∞ (bzw. −∞), wenn es zu jedem K ∈ IR ein m = m (K) ∈ IN gibt mit: a_{n} > K(bzw. a_{n} < K) ∀n ≥ m Schreibweise: lim_{n→∞} a_{n} = +∞ ( lim_{n→∞} a_{n} = −∞) Man spricht in diesen Fällen auch von uneigentlicher Konvergenz.

Die Folge (a^{n}) ist für a ∈ IR, a > 1 bestimmt divergent gegen +∞ (oder uneigentlich konvergent gegen +∞) und für a ∈ IR, a < −1 divergent.

\underline{(15.22) SATZ:} Die Folge (a_{n}) sei bestimmt divergent gegen +∞ oder −∞. Dann gibt es ein

n_{0} ∈ IN mit a_{n} ≠ 0 ∀n ≥ n_{0}, und die Folge (\frac{1}{a_{n}} )_{n≥n_{0}} ist eine Nullfolge.

\underline{Bew:} lim_{n→∞} (a_{n}) = +∞

Sei ε > 0 beliebig ⟹ ∃n_{0} ∈ IN mit a_{n} > \frac{1}{ε} > 0 ∀n ≥ n_{0} ⟹ |\frac{1}{a_{n}} | = \frac{1}{a_{n}} < ε ∀n ≥ n_{0}

Für lim_{n→∞} (a_{n}) = −∞ betrachte man die Folge (−a_{n}). ■

\underline{(15.23) SATZ:} Sei (a_{n}) eine Nullfolge mit a_{n} > 0 (bzw. a_{n} < 0) für alle n ∈ IN. Dann gilt:

lim_{n→∞} (\frac{1}{a_{n}} ) = +∞ (bzw. lim_{n→∞} (\frac{1}{a_{n}} ) = −∞).

\underline{Bew:} Sei a_{n} > 0. Sei K > 0. Zu ε := \frac{1}{K} > 0 existiert n_{0} ∈ IN

mit a_{n} = |a_{n}| < ε = \frac{1}{K} ∀n ≥ n_{0} ⟹ \frac{1}{a_{n}} > K ∀n ≥ n_{0}. Folglich gilt lim_{n→∞} (\frac{1}{a_{n}} ) = +∞.

Analog a_{n} < 0. ■

\underline{(15.24) DEF:} Sei (a_{n})_{n∈IN} eine Folge reeller Zahlen und n_{1} < n_{2} < n_{3} < … eine echt monoton wachsende Folge natürlicher Zahlen. Dann heißt die Folge

(a_{n_{k}})_{k∈IN} = (a_{n_{1}}, a_{n_{2}}, a_{n_{3}}, a_{n_{4}}, …)

eine Teilfolge der Folge (a_{n})_{n∈IN}

\underline{Beispiele:}

a) n_{k} = 2k, (\frac{1}{n_{k}} ) = (\frac{1}{2k} ) = (\frac{1}{2}, \frac{1}{4}, \frac{1}{6}, \frac{1}{8}, …) ist eine Teilfolge von (\frac{1}{n}) = (1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, …)

b) n_{k} = 2^{k}, (2^{k})_{k∈IN} = (2, 4, 8, 16, 32, …) ist eine Teilfolge von (n)_{n∈IN}

c) ((−1)^{n})_{n∈IN}, (1, 1, 1, …) ist Teilfolge mit n_{k} = 2k, (−1, −1, −1, …) ist Teilfoge mit n_{k} = 2k − 1, d.h. eine divergente Folge kann eine konvergente Teilfolge enthalten (dies liegt an der Beschränktheit!).

\underline{(15.25) SATZ:} Ist die Folge (a_{n}) konvergent gegen a, so ist auch jede Teilfolge von (a_{n}) konvergent mit a als Grenzwert.

\underline{Bew:} Sei (a_{n_{k}})_{k∈IN} eine Teilfolge von (a_{n}). Zu ε > 0 existiert n_{0} (ε) ∈ IN mit |a_{n} − a| < ε ∀n ≥ n_{0} (ε). Nun gilt k ≤ n_{k} ∀k ∈ IN. Ist k ≥ n_{0} (ε), so ist auch n_{k} ≥ n_{0} (ε), so

daß folgt |a_{n_{k}} − a| < ε ∀k ≥ n_{0} (ε). Also lim_{k→∞} (a_{n_{k}}) = a. ■

Es gilt der folgende Satz von Bolzano-Weierstraß, den wir hier nicht beweisen wollen:

\underline{(15.26) SATZ:} (Bolzano–Weierstraß)

Jede beschränkte Folge reeller Zahlen enthält eine konvergente Teilfolge.

Bernhard Bolzano , 1781–1848

Karl Theodor Wilhelm Weierstraß, 1815–1897 Abschließend wollen wir noch ein weiteres Konvergenzkriterium für beliebige Folgen herleiten:

Sei (z_{n}) eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit lim_{n→∞} (z_{n}) = z. Sei ε > 0 beliebig

⟹ ∃n_{0} = n_{0} (ε) ∈ IN mit |z_{n} − z| < \frac{ε}{2} ∀n ≥ n_{0} (ε). Seien m, n ∈ IN beliebig mit m ≥ n_{0} und n ≥ n_{0}.

⟹ |z_{m} − z_{n}| = |(z_{m} − z) + (z − z_{n})| ≤ |z_{m} − z| + |z_{n} − z| < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε, d.h. der Abstand zwi-

schen den Folgengliedern kann beliebig klein gemacht werden, wenn man nur die Folgenindizes genügend groß wählt.

\underline{(15.27) DEF:} Eine Folge (z_{n})_{n∈IN} komplexer Zahlen heißt eine Cauchy-Folge, wenn gilt: Zu jedem ε ∈ IR, ε > 0 existiert ein n_{0} (ε) ∈ IN mit

|z_{m} − z_{n}| < ε ∀m, n ≥ n_{0}

(Augustin Louis Cauchy, 1789–1859)

Dies ist eine Eigenschaft einer Folge, die nur die Folgenglieder betrifft. Ein Grenzwert taucht hierbei nicht mehr auf.

\underline{(15.28) BEM:} a) Jede Cauchy–Folge ist beschränkt (Beweis analog wie zu (15.7))

b) Sei z_{n} = a_{n} + ib_{n} (∀ n ∈ IN). Genau dann ist die Folge (z_{n}) eine Cauchy–Folge, wenn die beiden reellen Folgen (a_{n}) und (b_{n}) Cauchy–Folgen sind.

\underline{Bew:} Es gilt immer |a_{m} − a_{n}| ≤ |z_{m} − z_{n}| , |b_{m} − b_{n}| ≤ |z_{m} − z_{n}| und |z_{m} − z_{n}| ≤ |a_{m} − a_{n}| + |b_{m} − b_{n}|, woraus sich die Aussage ergibt (s. Bew. von (15.11)).

(15.29) SATZ:

Konvergenzkriterium von Cauchy

Für eine Folge (z_{n}) komplexer Zahlen sind folgende Aussagen äquivalent:

a) (z_{n}) ist konvergent

b) (z_{n}) ist eine Cauchy-Folge.

\underline{Bew:} \underline{a)⟹ b)} s.o.

\underline{b)⟹ a)} Skizze: Sei z_{n} = a_{n}+ib_{n} mit a_{n}, b_{n} ∈ IR. Die Folge (z_{n}) ist als Cauchy-Folge beschränkt (15.28a), dasselbe gilt dann auch für die beiden reellen Folgen (a_{n}) und (b_{n}). Nach dem Satz von Bolzano–Weierstraß (15.26) enthalten beide Folgen konvergente Teilfolgen, die dann einen Grenzwert a bzw. b besitzen. Es läßt sich dann zeigen: enthält eine Cauchy–Folge eine konvergente Teilfolge, so ist sie selbst konvergent mit demselben Grenzwert. Also konvergiert die Folge (a_{n}) gegen a und (b_{n}) gegen b. Nach Satz (15.11) ist schließlich die Folge (z_{n}) konvergent mit a + ib als Grenzwert. ■

Chr. Nelius: Mathematik für Informatiker II (SS 2001) 17

\underline{(15.30) BEISPIEL:} Die Folge (a_{n})_{n∈IN} sei rekursiv definiert durch a_{1} := 1, a_{2} := 4, a_{n} := \frac{1}{2} (a_{n−1} + a_{n−2}) (n ≥ 3). Die ersten Glieder der Folge sind also : 1, 4, 2.5, 3.25, 2.875 Man sieht,daß diese Folge nicht monoton ist, wohl aber beschränkt.

|a_{2} − a_{1}| = 3, |a_{3} − a_{2}| = \frac{3}{2}, |a_{4} − a_{3}| = \frac{3}{4}, |a_{5} − a_{4}| = \frac{3}{8}

Die Vermutung |a_{n} − a_{n−1}| = 12 · \frac{1}{2^{n}} läßt sich leicht durch vollständige Induktion nachweisen:

(IA): \underline{n = 2 :} |a_{2} − a_{1}| = 4 − 1 = 3 = \frac{12}{4} = 12 · \frac{1}{2^{2}}

(IV): Für ein beliebiges (aber festes) n ∈ IN, n ≥ 2 gilt |a_{n} − a_{n−1}| = 12 · \frac{1}{2^{n}}

(IS): |a_{n+1} − a_{n}| = |\frac{1}{2} (a_{n−1} + a_{n}) − a_{n}| = |−\frac{1}{2}a_{n−1} + \frac{1}{2}a_{n}| = \frac{1}{2} |a_{n} − a_{n−1}| =^{(IV)} 12 · \frac{1}{2^{n}} · \frac{1}{2}

= 12 · \frac{1}{2^{n+1}}

Sei ε > 0 beliebig. Für m, n ∈ IN mit m ≥ n gilt:

|a_{m} − a_{n}| = |(a_{m} − a_{m−1}) + (a_{m−1} − a_{m−2}) + … + (a_{n+1} − a_{n})|
≤ |a_{m} − a_{m−1}| + |a_{m−1} − a_{m−2}| + … + |a_{n+1} − a_{n}|
= 12 (\frac{1}{2^{m}} + \frac{1}{2^{m−1}} + … + \frac{1}{2^{n}} )
= \frac{12}{2^{n}} (\frac{1}{2^{m−n}} + \frac{1}{2^{m−n−1}} + … + \frac{1}{2} + 1)
=^{⋆)} \frac{12}{2^{n}} \frac{1 − (\frac{1}{2})^{m−n+1}}{1 − \frac{1}{2}}
= \frac{24}{2^{n}} \underbrace{(1 − (\frac{1}{2})^{m−n+1})}_{≤1}
≤ \frac{24}{2^{n}}

⋆) endliche geometrische Reihe (s. (6.5b)). Da (\frac{24}{2^{n}})_{n∈IN} eine Nullfolge ist, gibt es n_{0} ∈ IN mit |a_{m} − a_{n}| ≤ \frac{24}{2^{n}} < ε ∀n ≥ n_{0}. Folglich |a_{m} − a_{n}| < ε ∀m, n ≥ n_{0}, d.h. (a_{n}) ist eine Cauchy-Folge und damit konvergent.