Chr.Nelius , Mathematik für Informatiker II, (SS 2001) 10.5.2001

§13. Determinanten

Problem: Wie können wir feststellen, ob eine Matrix A ∈ M_{n}(K) invertierbar ist? Wir wissen: A invertierbar ⟹ es gibt B ∈ M_{n}(K) mit A · B = E_{n} und B · A = E_{n}. Wegen (12.20) reicht eine dieser beiden Bedingungen aus. Bekannt ist:

\underline{(13.1) SATZ:} Für A ∈ M_{n}(K) sind äquivalent:

a) A ist invertierbar b) rg(A) = n

c) Die Spalten von A sind linear unabhängig

d) Die Spalten von A bilden ein EZS von K^{n}

e) Die Spalten von A bilden eine Basis von K^{n}

f) Die Zeilen von A sind linear unabhängig

g) Die Zeilen von A bilden ein EZS von M_{n,1}(K)

h) Die Zeilen von A bilden eine Basis von M_{n,1}(K).

\underline{(13.2) SATZ:} Für A = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ M_{2}(K) gilt:

A invertierbar ⟹ ad − bc ≠ 0

Diese Größe ad − bc nennen wir die Determinante der (2 × 2)–Matrix A. An ihr können wir ablesen, ob A invertierbar ist oder nicht. Wir wollen im folgenden allgemein die Determinante einer quadratischen Matrix definieren. Dies wird rekursiv geschehen. Wir definieren:

\underline{n = 1} A = (a_{11}) ∈ M_{1}(K) : det(A) := a_{11} ∈ K

\underline{n = 2} A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈ M_{2}(K) : det(A) := a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21} = a_{11} det(a_{22}) − a_{12} det(a_{21})

\underline{n = 3} A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) ∈ M_{3}(K)

det(A) : =^{(∗)} a_{11} det ( \begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) − a_{12} det ( \begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} ) + a_{13} det ( \begin{matrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} )

= a_{11}(a_{22}a_{33} − a_{23}a_{32}) − a_{12}(a_{21}a_{33} − a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} − a_{22}a_{31})
= a_{11}a_{22}a_{33} − a_{11}a_{23}a_{32} − a_{12}a_{21}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} + a_{13}a_{21}a_{32} − a_{13}a_{22}a_{31}

(∗) Hier wird det(A) nach der ersten Zeile “entwickelt”: wir streichen die erste Zeile und

die erste Spalte von A. Es bleibt die (2 × 2)–Matrix ( \begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} ) übrig, von der wir die

Determinante bilden (s. Fall \underline{n = 2}) und mit a_{11} multiplizieren. Dann streichen wir die erste

Zeile und die zweite Spalte von A. Übrig bleibt die (2 × 2)–Matrix ( \begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} ), deren

Determinante wir mit −a_{12} multiplizieren. Dann streichen wir die erste Zeile und die dritte

Spalte von A, es bleibt die (2 × 2)–Matrix ( \begin{matrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} ) übrig, deren Determinante mit a_{13}

multipliziert wird. Schließlich werden diese drei Größen aufsummiert. Bezeichnen wir die (2 × 2)–Matrix, die aus A durch Streichen der i–ten Zeile und der k–ten Spalte entsteht, mit A′_{ik} , so gilt

det(A) = a_{11} det(A′_{11}) − a_{12} det(A′_{12}) + a_{13} det(A′_{13})

oder

|A| = a_{11}|A′_{11}| − a_{12}|A′_{12}| + a_{13}|A′_{13}|

\underline{Beispiel:} a) A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ −1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR)

|A| = 1 · \underbrace{| \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} |}_{=1} − 2 · \underbrace{| \begin{matrix}0 & 2 \\ −1 & 1 \end{matrix} |}_{=2} + 3 · \underbrace{| \begin{matrix}0 & 1 \\ −1 & 0 \end{matrix} |}_{=1} = 1 · 1 − 2 · 2 + 3 · 1 = 1 − 4 + 3 = 0

Wir wollen noch den Rang von A bestimmen (→ steht für die Ausführung einer elementaren Zeilenumformung) :

A → ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 4 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) d.h. rg(A) = 2 < 3. Also ist A nicht

invertierbar, und es gilt det(A) = 0.

b) B = ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR)

|B| = 1 · \underbrace{| \begin{matrix}1 & 2 \\ 0 & 1 \end{matrix} |}_{=1} − (−1) · \underbrace{| \begin{matrix}0 & 2 \\ 1 & 1 \end{matrix} |}_{=−2} + 0 · \underbrace{| \begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} |}_{=−1} = 1 · 1 − (−1) · (−2) + 0 · (−1) = 1 − 2 + 0 = −1

Wir bestimmen auch hier wieder den Rang von B (→ steht für die Ausführung einer elementaren Zeilenumformung) :

B → ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \end{matrix} ) → ( \begin{matrix}1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) d.h. rg(B) = 3 Also ist B invertierbar, und es gilt

det(B) ≠ 0.

\underline{(13.3) BEM:} Die oben beschriebene Methode zur Berechnung der Determinante einer (3×3)– Matrix ist auch unter dem Namen Regel von Sarrus bekannt. Man kann folgendermaßen vorgehen:

Es werden die ersten beiden Spalten von A noch einmal rechts von A geschrieben:

a_{11}  a_{12}  a_{13}  a_{11}  a_{12}
[figure: ...; ...; ...]
a_{21}  a_{22}  a_{23}  a_{21}  a_{22}
[figure: ...; ...; ...]
a_{31}  a_{32}  a_{33}  a_{31}  a_{32}

Es werden jeweils die drei Elemente, die mit einer gestrichelten Linie verbunden sind, miteinander multipliziert und die Produkte dann aufsummiert, davon werden dann die Produkte von jeweils 3 Elementen, die mit einer durchgezogenen Linie verbunden sind, subtrahiert. Das Ergebnis ist die Determinante von A.

Achtung: Die Regel von Sarrus ist nur für (3 × 3)–Matrizen gültig.

Wir kommen nun zu der allgemeinen Definition der Determinante:

\underline{(13.4) DEF:} Es sei K ein beliebiger Körper und n ∈ IN. Die Determinante det(A) einer (n × n)–Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) ist rekursiv definiert durch:

\underline{n = 1} det(A) := a_{11} \underline{n > 1} (∗) det(A) := ∑_{i=1}^{n}(−1)^{1+k}a_{1k} det(A′_{1k})

Dabei ist A′_{1k} ∈ M_{n−1}(K) die Matrix, die aus A durch Streichen der ersten Zeile und der k–ten Spalte entsteht. Man nennt (∗) auch die Entwicklung von det(A) nach der ersten Zeile.

\underline{Beispiel:} a) Für A = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} ) ∈ M_{2}(K) besagt die Definition:

det(A) = a_{11} · det(A′_{11}) − a_{12} · det(A′_{12})

in Einklang mit unserer Definition vom Anfang dieses Paragraphen.

b) Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 4 \\ 1 & 0 & −1 & 1 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & −1 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(IR). Dann ist

det(A) = 1 · det(A′_{11}) − 2 · det(A′_{12}) + 3 · det(A′_{13}) − 4 · det(A′_{14}) =

= 1 · \underbrace{\begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ −1 & 0 & 0 \end{matrix}}_{=1} −2 · \underbrace{\begin{matrix}1 & −1 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \end{matrix}}_{=−1} +3 · \underbrace{\begin{matrix}1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix}}_{=−2} −4 · \underbrace{\begin{matrix}1 & 0 & −1 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & −1 & 0 \end{matrix}}_{=3}

= 1 · 1 − 2 · (−1) + 3 · (−2) − 4 · 3 = −15

\underline{(13.5) SATZ:} (Grundeigenschaften der Determinante) Sei A ∈ M_{n}(K). Dann gilt:

a) det(A) ist K–linear in den Spalten von A .

b) Sind zwei Spalten von A gleich, so folgt det(A) = 0 .

c) det(E_{n}) = 1 .

\underline{(13.6) FOLG:} Sei A ∈ M_{n}(K). Dann gilt:

a) det(A) ändert sich nicht, wenn man zu einer Spalte ein skalares Vielfaches einer anderen Spalte addiert.

b) det(A) ändert das Vorzeichen, wenn man zwei Spalten vertauscht.

c) Ist eine Spalte von A die Nullspalte, so folgt det(A) = 0 .

d) Sind die Spalten von A linear abhängig, so folgt det(A) = 0 .

\underline{BEM:} Damit gilt: Spalten von A linear abhängig ⟹ det(A) = 0 oder äquivalent dazu: det(A) ≠ 0 ⟹ Spalten von A sind linear unabhängig ⟺^{(13.1)} A ist invertierbar. Wir werden später sehen, daß auch die Umkehrung gilt.

Für die Berechnung einer Determinante ist es wichtig, daß man nicht nur nach der ersten Zeile, sondern nach einer beliebigen Zeile entwickeln kann:

(13.7) SATZ:

Laplace’scher Entwicklungssatz

(Entwicklung nach der i–ten Zeile) Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) (n ≥ 2). Für jedes i ∈ {1, 2, …, n} gilt dann:

det(A) = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ik} det(A′_{ik}) .

Jeder Summand ist mit dem Vorzeichen (−1)^{i+k} versehen. Diese Vorzeichen sind “schachbrettartig” verteilt:

( \begin{matrix}+ & − & + & − & … \\ − & + & − & + & … \\ + & − & + & − & … \\ − & + & − & + & … \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋯ \end{matrix} )

Sei nun A = ( \begin{matrix}1 & 2 & −1 \\ 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \end{matrix} ) . Wir wollen det(A) nach allen drei Zeilen entwickeln:

\underline{i = 1} det(A) = ∑_{k=1}^{3}(−1)^{1+k}a_{1k} det(A′_{1k})

= 1 · \underbrace{| \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 2 \end{matrix} |}_{=0} − 2 · \underbrace{| \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 2 \end{matrix} |}_{=4} + (−1) · \underbrace{| \begin{matrix}2 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} |}_{=2} = 0 − 8 − 2 = −10

\underline{i = 2} det(A) = ∑_{k=1}^{3}(−1)^{2+k}a_{2k} det(A′_{2k})

= (−2) · \underbrace{| \begin{matrix}2 & −1 \\ 1 & 2 \end{matrix} |}_{=5} + \underbrace{0 · | ∗ |}_{=0} − \underbrace{0 · | ∗ |}_{=0} = (−2) · 5 + 0 + 0 = −10

Hier ist es nicht nötig, die Determinanten auszurechnen, die mit dem Faktor 0 multipliziert werden.

\underline{i = 3} det(A) = ∑_{k=1}^{3}(−1)^{3+k}a_{3k} det(A′_{3k})

= \underbrace{0 · | ∗ |}_{=0} − 1 · \underbrace{| \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 0 \end{matrix} |}_{=2} + 2 · \underbrace{| \begin{matrix}1 & 2 \\ 2 & 0 \end{matrix} |}_{=−4} = 0 − 1 · 2 + 2 · (−4) = −10 .

Wir sehen, daß in allen drei Fällen derselbe Wert herauskommt. Um den Rechenaufwand gering zu halten, entwickelt man nach einer Zeile, in der möglichst viele Nullen stehen. In dem obigen Beispiel ist es am günstigsten, nach der zweiten Zeile zu entwickeln.

Ohne Beweis geben wir den folgenden Satz an:

(13.8) Determinantenproduktsatz

Für Matrizen A, B ∈ M_{n}(K) gilt det(A · B) = det(A) · det(B)

Man beachte, daß eine entsprechende Aussage für die Summe zweier Matrizen nicht gilt:

Achtung: I.a. gilt det(A + B) ≠ det(A) + det(B)

Gegenbeispiel: Für A = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) , B = ( \begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{2}(IR) gilt

det(A) + det(B) = 0 + 0 = 0 und det(A + B) = det(E_{2}) = 1 .

\underline{(13.9) FOLG:} Für A ∈ M_{n}(K) gilt:

a) A ist genau dann invertierbar, wenn det(A) ≠ 0 ist.

b) Ist A invertierbar, so folgt det(A^{−1}) = det(A)^{−1} \underline{(13.10) BEM:} a) Es gilt det(^{t}A) = det(A). Da die Zeilen von ^{t}A gerade die Spalten von A sind, hat det(A) auch bzgl. der Spalten ganz entsprechende Eigenschaften wie bzgl. der Zeilen.

b) Insbesondere kann man eine Determinante auch nach einer Spalte entwickeln:

Laplace’scher Entwicklungssatz (Entwicklung nach der k–ten Spalte)

Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) (n ≥ 2). Für jedes k ∈ {1, 2, …, n} gilt dann:

det(A) = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ik} det(A′_{ik}) .

c) Ist A eine quadratische Matrix mit det(A) ≠ 0, so ist ja ein LGS Ax = b eindeutig lösbar. Die sog. Cramersche Regel liefert ein Verfahren, wie man mit Hilfe von Determinanten diese Lösung berechnen kann:

Seien A ∈ GL_{n}(K) und b ∈ K^{n} . Die Matrix A habe die Spalten v_{1}, v_{2}, …, v_{n} . Dann ist

die einzige Lösung ( z_{1} ; ⋮ ; z_{n} ) des LGS’s A · x = b gegeben durch

z_{i} = \frac{det(v_{1} … v_{i−1} b v_{i+1} … v_{n})}{det(A)} (i = 1, 2, …, n)

d) Es gibt eine explizite Formel für Determinanten, die sog. Leibniz’sche Determinantenformel. Diese besteht für eine (n × n)–Matrix aus n! Summanden, wobei jeder Summand ein Produkt aus n Elementen der Matrix ist. Im Falle n = 3 hatten wir diese Formel schon aufgestellt. Allgemein:

Für eine Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) gilt

det(A) = ∑_{π∈S_{n}} sign(π) · a_{π(1),1} · a_{π(2),2} · . . . · a_{π(n),n}