§11. Vektorräume

\underline{(11.1) DEF:} Sei K ein Körper und V eine Menge mit einer Addition + : V × V ⟶ V , (v, w) ⟼ v + w ∈ V und einer skalaren Multiplikation ·_{K} : K × V ⟶ V , (a, v) ⟼ av ∈ V . Dann heißt (V, +, ·_{K}) ein K–Vektorraum (oder ein Vektorraum über K), wenn folgende Eigenschaften gelten:

a) Für die Addition: A_{0}) ∀v, w ∈ V : v + w ∈ V A_{1}) ∀u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w A_{2}) ∀v, w ∈ V : v + w = w + v A_{3}) ∃ o_{V} ∈ V ∀v ∈ V : v + o_{V} = v A_{4}) ∀v ∈ V ∃w ∈ V : v + w = o_{V}

b) Für die skalare Multiplikation: SM_{0}) ∀c ∈ K ∀v ∈ V : cv ∈ V SM_{1}) ∀c ∈ K ∀v, w ∈ V : c(v + w) = cv + cw SM_{2}) ∀c, d ∈ K ∀v ∈ V : (c + d)v = cv + dv SM_{3}) ∀c, d ∈ K ∀v ∈ V : c(dv) = (cd)v SM_{4}) ∀v ∈ V : 1_{K} · v = v

BEZEICHNUNGEN: (V, +, ·_{K}) sei ein K–Vektorraum. Die Elemente aus V heißen Vektoren, die Elemente aus K Skalare. Das Element o_{V} aus A_{3}) heißt Nullvektor von V. Er ist eindeutig bestimmt. Das Element w in A_{4}) heißt der zu v negative Vektor. Er ist eindeutig bestimmt und wird mit \underline{−v} bezeichnet. Die Differenz zweier Vektoren ist definiert durch: \underline{v − w} := v + (−w) .

\underline{(11.2) BEISPIELE:} a) Ist K ein Körper, so ist die Menge M_{m,n}(K) aller (m × n)– Matrizen mit Elementen aus K nach (10.5) ein K–Vektorraum. Dabei sind m und n beliebige natürliche Zahlen. Also z.B.: M_{4,5}(Q) ist ein Q–Vektorraum M_{5}(IR) ist ein IR–Vektorraum M_{4,3}(ZZ_{7}) ist ein ZZ_{7}–Vektorraum. b) Spezialfall von a): Der K–Vektorraum K^{m} := M_{m,1}(K) aller Spalten aus m Elementen von K. Addition und Skalarmultiplikation sind komponentenweise definiert. Etwa:

IR^{3} = \{ ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix} ) | a_{1}, a_{2}, a_{3} ∈ IR \} ist ein IR–Vektorraum

Q^{2} = \{ ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \end{matrix} ) | a_{1}, a_{2} ∈ Q \} ist ein Q–Vektorraum

ZZ_{2}^{4} = \{ ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} ) | a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4} ∈ ZZ_{2} \} ist ein ZZ_{2}–Vektorraum

c) Jeder Körper K ist ein K–Vektorraum: IR ist ein IR–Vektorraum, Q ist ein Q–Vektorraum, ZZ_{13} ist ein ZZ_{13}–Vektorraum

d) IR ist ein Q–Vektorraum

e) Die Menge F(K) aller unendlichen Folgen von Elementen aus K ist ein K–Vektorraum. Zwei Folgen (a_{n})_{n∈IN} und (b_{n})_{n∈IN} werden “gliedweise“ addiert, d.h. (a_{n})_{n∈IN} + (b_{n})_{n∈IN} := (a_{n} + b_{n})_{n∈IN} ∈ F(K) und c · (a_{n})_{n∈IN} := (c · a_{n})_{n∈IN} ∈ F(K) .

f) Die Vektoren der Ebene (bzw. des Raumes) bilden einen Vektorraum über IR. \underline{(11.3) SATZ:} K sei ein Körper. In einem K–Vektorraum V gelten die folgenden Rechenregeln:

a) ∀ v ∈ V : o_{K} · v = o_{V}

b) ∀ a ∈ K : a · o_{V} = o_{V}

c) ∀ a ∈ K ∀ v ∈ V : a · v = o_{V} ⟺ (a = 0_{K} ∨ v = o_{V})

d) ∀ v ∈ V : (−1_{K}) · v = − v.

\underline{(11.4) DEF:} K sei ein Körper und V ein K–Vektorraum. Eine Teilmenge U ⊆ V heißt ein Unter(vektor)raum von V, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind: U_{1}) o_{V} ∈ U U_{2}) ∀ u, u′ ∈ U : u + u′ ∈ U U_{3}) ∀ a ∈ K ∀ u ∈ U : a · u ∈ U. \underline{(11.5) BEISPIELE:} a) Sei A ∈ M_{m,n}(K) . Dann ist die Lösungsmenge Lös(A, o_{m}) ⊆ K^{n} des homogenen LGS’s Ax = o_{m} nach (10.37) ein Unterraum von K^{n}.

b) In jedem K–Vektorraum V sind die Teilmengen {o_{V} } und V Unterräume von V. Der Unterraum, der nur aus dem Nullvektor besteht, heißt der Nullraum.

c) U := \{ ( \begin{matrix}r \\ 0 \end{matrix} ) | r ∈ IR \} ⊆ IR^{2} ist ein Unterraum von IR^{2}. d) Sei v_{0} ∈ V ein fester Vektor. Dann ist

U := { a · v_{0} | a ∈ K } ⊆ V

ein Unterraum von V. U heißt der von v_{0} erzeugte Unterraum von V.

e) Seien v_{1} := ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix} ) und v_{2} := ( \begin{matrix}−1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) zwei Vektoren aus IR^{3}. Dann ist U :=

{a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} | a_{1}, a_{2} ∈ IR } ⊆ IR^{3} ein Unterraum von IR^{3}. Ein Element aus U heißt eine Linearkombination von v_{1} und v_{2}. U heißt auch der von der Teilmenge {v_{1}, v_{2}} erzeugte Unterraum von IR^{3}.

\underline{(11.6) BEM:} Ein Unterraum U ⊆ V eines K–Vektorraumes V ist für sich selbst betrachtet wieder ein K–Vektorraum.

\underline{(11.7) SATZ:} K sei ein Körper, V ein K–Vektorraum und E := \{ v_{1}, v_{2}, …, v_{n}\} ⊆ V eine endliche nichtleere Teilmenge von V. Dann ist die Menge

L_{K}(E) := { a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n} | a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K } ⊆ V

ein Unterraum von V.

L_{K}(E) heißt der von E erzeugte Unterraum von V. Ein Element aus L_{K}(E) heißt eine Linearkombination der Vektoren v_{1}, v_{2}, …, v_{n}. Man schreibt auch L_{K}(E) = L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n}). Außerdem definiert man L_{K}(∅) := { o_{V} }.

\underline{(11.8) BEISPIELE:} a) E = \{v\} ⊆ V ⟹ L_{K}(v) = \{av|a ∈ K\} =: Kv.

b) E = {v_{1}, v_{2}} ⊆ V ⟹ L_{K}(v_{1}, v_{2}) = {a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2}| a_{1}, a_{2} ∈ K}

c) Betrachtet man K als K–Vektorraum, so gilt L_{K}(1_{K}) = K , also L_{IR}(1) = IR , L_{ZZ_{2}}(1_{ZZ_{2}}) = ZZ_{2} .

d) Sei E := {e_{1}, e_{2}, e_{3}} ⊆ IR^{3} die Teilmenge, die aus den 3 Einheitsvektoren aus IR^{3} besteht. Dann gilt L_{IR}(E) = IR^{3}.

\underline{(11.9) DEF:} K sei ein Körper und V ein K–Vektorraum. Eine (endliche) Teilmenge E ⊆ V heißt ein Erzeugendensystem (abgekürzt: EZS) von V, wenn L_{K}(E) = V gilt.

\underline{(11.10) BEISPIELE:} a) \{e_{1}, e_{2}, e_{3}\} ist ein EZS von IR^{3}. Dies gilt auch für K^{3}.

b) Die Menge {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} ⊆ K^{n} der Einheitsvektoren in K^{n} ist ein EZS von K^{n}.

c) { 1_{K}} ist ein EZS von K.

d) { o_{V} } und ∅ sind EZS’e des Nullraumes { o_{V} }.

Bei einem EZS E ⊆ V können unterschiedliche Fälle auftreten:

a) Jeder Vektor aus V läßt sich auf genau eine Art als Linearkombination der Vektoren aus E darstellen

b) Es gibt Vektoren, die sich auf verschiedene Arten als Linearkombination der Vektoren aus E darstellen lassen.

Ende WS 2000/01 — Fortsetzung im SS 2001

\underline{(11.11) SATZ:} Sei V ein K–Vektorraum. Für Vektoren v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}, v_{n} ∈ V gilt: L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}, v_{n}) = L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}) ⟺ v_{n} ∈ L_{K}(v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1})

\underline{(11.12) DEF:} Sei V ein K–Vektorraum. Eine endliche Teilmenge T = \{v_{1}, v_{2}, …, v_{n−1}, v_{n}\} ⊆ V heißt linear abhängig (über K), wenn sich mindestens ein Vektor aus T als Linearkombination der übrigen Vektoren aus T darstellen läßt. Anderenfalls heißt T linear unabhängig (über K). Es wird festgesetzt, daß die leere Menge ∅ linear unabhängig über K ist.

\underline{(11.13) SATZ:} Kriterium für die lineare Abhängigkeit/Unabhängigkeit Sei V ein K–Vektorraum und T = {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} ⊆ V :

a) T ist genau dann linear abhängig, wenn es Skalare a_{1}, …, a_{n} ∈ K gibt, die nicht alle 0

sind, so daß ∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n} = o_{V} gilt.

b) T ist genau dann linear unabhängig, wenn für beliebige Skalare a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit

∑_{i=1}^{n} a_{i}v_{i} = a_{1}v_{1} + a_{2}v_{2} + … + a_{n}v_{n} = o_{V} folgt, daß alle a_{1}, …, a_{n} Null sind.

\underline{(11.15) SATZ:} Es sei T = \{v_{1}, v_{2}, …, v_{n}\} ⊆ K^{m} eine Menge von n Spaltenvektoren aus K^{m}. Ferner sei A die (m × n)–Matrix, deren Spalten die Vektoren v_{1}, v_{2}, …, v_{n} sind. Dann gilt:

a) T ist genau dann linear unabhängig, wenn das homogene LGS Ax = o_{m} nur den Nullvektor als Lösung besitzt.

b) Ein Vektor v ∈ K^{m} läßt sich genau dann als Linearkombination von v_{1}, v_{2}, …, v_{n} darstellen, wenn das LGS Ax = v lösbar ist.

c) T ist genau dann ein EZS von K^{m}, wenn das LGS Ax = v für jeden Vektor v ∈ K^{m} lösbar ist.

\underline{(11.16) FOLG:} Sei T := \{ v_{1}, …, v_{n} \} ⊆ K^{m} eine Teilmenge aus n Vektoren. Dann gilt:

a) T linear unabhängig ⟹ n ≤ m

b) T EZS von K^{m} ⟹ n ≥ m.

\underline{(11.17) DEF:} Sei V ein K–Vektorraum. Eine endliche Teilmenge B ⊆ V heißt eine Basis von V, wenn gilt:

i) B ist linear unabhängig ii) B ist ein EZS von V.

\underline{(11.19) SATZ:} Sei V ein K–Vektorraum und T := \{v_{1}, …, v_{n}\} ⊆ V eine Teilmenge. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:

a) T ist eine Basis von V

b) Jeder Vektor aus V läßt sich als Linearkombination der Vektoren v_{1}, …, v_{n} mit eindeutig bestimmten Koeffizienten aus K darstellen.

\underline{(11.20) BEM:} In dem K–Vektorraum K^{m} gilt nach (11.16):

a) Jede linear unabhängige Teilmenge von K^{m} hat höchstens m Elemente

b) Jedes EZS von K^{m} hat mindestens m Elemente

c) Jede Basis von K^{m} hat genau m Elemente

d) K^{m} besitzt eine Basis

e) Je zwei Basen von K^{m} besitzen gleichviel Elemente.

\underline{(11.21) SATZ:} Ist T = \{v_{1}, …, v_{n}\} ein EZS eines K–Vektorraumes V ≠ 0, so gibt es eine Teilmenge S ⊆ T, die eine Basis von V ist (kurz: jedes EZS enthält eine Basis).

\underline{(11.22) SATZ:} Sei V ein K–Vektorraum mit einer Basis aus m Elementen. Dann gilt:

a) Jede linear unabhängige Teilmenge von V hat höchstens m Elemente

b) Jedes EZS von V hat mindestens m Elemente

c) Jede Basis von V hat genau m Elemente.

\underline{(11.23) DEF:} Besitzt ein K–Vektorraum V eine Basis aus m Elementen, so heißt m die Dimension von V, in Zeichen: m = dim_{K}(V). Man nennt V dann auch einen m–dimensionalen Vektorraum.

\underline{(11.24) BEISPIELE:} a) dim_{IR}(IR^{2}) = 2 , dim_{IR}(IR^{3}) = 3 dim_{IR}(IR^{n}) = n (Basis aus n Einheitsvektoren)

b) dim_{K}(K^{n}) = n (K ein beliebiger Körper)

c) dim_{K}(K) = 1 ({1} ist eine Basis von K)

d) dim_{K}(0) = 0 (∅ ist eine Basis).

\underline{(11.25) SATZ:} Sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum und T := \{v_{1}, …, v_{s}\} ⊆ V. Die Dimension des von T erzeugten Unterraumes U = L_{K}(T) ist dann gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren aus T. Insbesondere gilt dim_{K}(U) ≤ n.

\underline{(11.25) SATZ:} Sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum und T := \{v_{1}, …, v_{s}\} ⊆ V. Die Dimension des von T erzeugten Unterraumes U = L_{K}(T) ist dann gleich der Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren aus T. Insbesondere gilt dim_{K}(U) ≤ n.

\underline{(11.26) SATZ:} U sei der von den Spaltenvektoren v_{1}, …, v_{n} ∈ K^{m} erzeugte Unterraum von K^{m} und A ∈ M_{m,n}(K) die Matrix mit den Spalten v_{1}, …, v_{n}. Ferner sei r = rg(A). Dann gilt:

a) dim_{K}(U) = r

b) Bezeichnen k_{1}, …, k_{r} die charakteristischen Spaltenindizes der Treppenmatrix T (A) von A, so ist {v_{k_{1}}, v_{k_{2}}, …, v_{k_{r}}} eine Basis von U.

\underline{(11.27) BEISPIEL:} Sei U = L_{K}(v_{1}, …, v_{6}) ⊆ IR^{4} der von den Vektoren v_{1}, …, v_{6} ∈ IR^{4} erzeugte Unterraum von IR^{4}, wobei die Vektoren v_{1}, …, v_{6} gerade die Spalten der nachfolgenden Matrix A sind. Es sollen die Dimension und eine Basis von U bestimmt werden.

A = ( \begin{matrix}1 & 3 & 4 & 1 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 & 3 & 0 & 1 \\ −1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 2 \\ −1 & 1 & 0 & 0 & 2 & 1 \end{matrix} )

T (A) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 0 & 0 & −2/3 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 7/9 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 5/9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & −2/9 \end{matrix} )

T (A) hat den Rang 4, also ist dim_{IR}(U) = 4. Die charakteristischen Spaltenindizes sind k_{1} = 1, k_{2} = 2, k_{3} = 4, k_{4} = 5, also ist

{v_{1}, v_{2}, v_{4}, v_{5}}

eine Basis von U.

Zum Abschluß der Linearen Algebra wollen wir noch folgende Probleme behandeln:

a) Der Rang einer Matrix ist durch die zugehörige Treppenmatrix definiert. Läßt sich der Rang auch direkt an der Matrix ablesen?

b) Die Lösungsmenge L eines homogenen LGS’s Ax = o (A ∈ M_{m,n}(K)) ist ein Unterraum von K^{n}. Wie läßt sich die Dimension von L bestimmen? Wie läßt sich eine Basis von L finden?

c) Für eine invertierbare Matrix A ∈ M_{n}(K) muß es eine Matrix B ∈ M_{n}(K) geben mit A · B = E_{n} und B · A = E_{n}. Reicht eine der beiden Bedingungen schon aus?

d) Eine Matrix A ∈ M_{n}(K) ist genau dann invertierbar, wenn ihr Rang gleich n ist. Dieser Rang wird über die Treppenmatrix berechnet. Gibt es noch eine andere Möglichkeit, dies festzustellen? (Stichwort: Determinanten)

\underline{(11.28) DEF:} Sei A ∈ M_{m,n}(K) .

a) Der Spaltenrang rg_{s}(A) von A ist die Dimension des von den Spalten von A erzeugten Unterraumes von K^{m} = M_{m,1}(K) (des Spaltenraumes S(A) von A).

b) Der Zeilenrang rg_{z}(A) von A ist die Dimension des von den Zeilen von A erzeugten Unterraumes von M_{1,n}(K) (des Zeilenraumes Z(A) von A).

\underline{(11.29) SATZ:} Für eine Matrix A ∈ M_{m,n}(K) gilt rg(A) = rg_{s}(A) = rg_{z}(A).

Beweisidee: rg(A) = rg_{s}(A) folgt aus (11.26). Durch elementare Zeilenumformungen ändert sich nicht der Zeilenraum Z(A). Daher gilt rg_{z}(A) = dim_{K}(Z(A)) = dim_{K}(Z(T (A))) = rg_{z}(T (A)) = rg(A).

\underline{(11.30) BEM:} a) (Basisergänzungssatz) Ist V ein n–dimensionaler K–Vektorraum, so läßt sich jede linear unabhängige Teilmenge von V zu einer Basis von V ergänzen.

b) V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum. Ist U ⊆ V ein Unterraum mit dim_{K}(U) = n = dim_{K}(V), so folgt U = V.