Chr. Nelius Mathematik für Informatiker II (SS 2001)

Tabelle von Ableitungen

f(x)  Definitions–  f′(x)

bereich

c (c ∈ IR)  IR  0
cx (c ∈ IR)  IR  c
x^{n} (n ∈ IN)  IR  nx^{n−1}
x^{c} (c ∈ IR)  IR_{>0}  cx^{c−1}
\frac{1}{x}  IR \ \{0\}  −\frac{1}{x^{2}}
\frac{1}{x^{n}} (n ∈ IN)  IR \ \{0\}  −\frac{n}{x^{n+1}}
\sqrt{x}  IR_{>0}  \frac{1}{2\sqrt{x}}
n \sqrt{x} (n ∈ IN)  IR_{>0}  \frac{1}{n\sqrt[n]{x^{n−1}}}
exp(x)  IR  exp(x)
a^{x} = exp_{a}(x) (a ∈ IR_{>0})  IR  ln(a) a^{x}
ln(x)  IR_{>0}  \frac{1}{x}
log_{a}(x) (a ∈ IR_{>0})  IR_{>0}  \frac{1}{x ln(a)}

Chr. Nelius Mathematik für Informatiker II (SS 2001)

trigonometrische Funktionen

f(x)  Def–bereich  f′(x)
sin(x)  IR  cos(x)
cos(x)  IR  − sin(x)
tan(x)  IR \ Null(cos)  \frac{1}{cos^{2}(x)} = 1 + tan^{2}(x)
cot(x)  IR \ Null(sin)  − \frac{1}{sin^{2}(x)} = −(1 + cot^{2}(x))

Null(f) bezeichnet die Menge aller Nullstellen einer Funktion f

arcsin(x)  [−1, 1 ]  \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} (x ≠ ±1)
arccos(x)  [−1, 1 ]  − \frac{1}{\sqrt{1 − x^{2}}} (x ≠ ±1)
arctan(x)  IR  \frac{1}{1 + x^{2}}
arccot(x)  IR  − \frac{1}{1 + x^{2}}

hyperbolische Funktionen

f(x)  Def–bereich  f′(x)
sinh(x)  IR  cosh(x)
cosh(x)  IR  sinh(x)
tanh(x)  IR  \frac{1}{cosh^{2}(x)}
coth(x)  IR \ \{0\}  − \frac{1}{sinh^{2}(x)}
arsinh(x)  IR  \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 1}}
arcosh(x)  [ 1, +∞ [  \frac{1}{\sqrt{x^{2} − 1}} (x ≠ 1)
artanh(x)  ] − 1, 1 [  \frac{1}{1 − x^{2}}
arcoth(x)  IR \ [−1, 1 ]  − \frac{1}{1 − x^{2}}