Bitte beachten!

Füllen Sie bitte für jede Übung das beigefügte Deckblatt aus und heften Sie es an Ihre Aufgaben. Sie erleichtern uns damit unsere Listenführung und helfen mit, das Chaos, das wir am Ende des letzten Semesters mit den Punktelisten hatten, zu vermeiden. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit!

Sollte bei einer der ersten beiden Übungen das Deckblatt fehlen, gibt es nur die halbe Punktzahl, danach werden Übungen ohne ausgefülltes Deckblatt nicht mehr gewertet.

Mathematik für Informatiker II

Sommersemester 2001 Deckblatt zu Übung Nr.^{∗}

Name:^{∗}

Vorname:^{∗}

Matrikelnr.:^{∗} Gruppe:^{∗}^{†} Bemerkung:^{∗}^{‡}

Erreichte Punkte:^{§}

Aufgabe:  Summe Korrektor

Punkte:

∗Bitte lesbar (in Druckschrift) ausfüllen! †Bitte angeben: Tag, von-bis, Tutor; z. B. DI 09-11 Nelius ‡Hier z. B. Wechsel der Übungsgruppe angeben §Wird vom Korrektor ausgefüllt

7. Übungsblatt

MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER II (SS 2001) Abgabe:Freitag 8.6.2001 bis 11.00 Uhr !!! Abgabeort: s. Internet Internet–Adresse der Vorlesung: http://math–www.uni–paderborn.de/~chris/index10.html

31. Aufgabe: Es sei (a_{n})_{n∈IN} eine konvergente Folge reeller Zahlen a_{n} ≥ 0. Beweise auf Grundlage von (15.2) , daß dann auch die Folge (\sqrt{a_{n}})_{n∈IN} konvergent ist und gegen \sqrt{lim_{n→∞} a_{n}} konvergiert. (3)

32. Aufgabe: Die Folge (a_{n})_{n∈IN} sei rekursiv definiert durch a_{1} = 0 , a_{n+1} = \sqrt{a_{n} + 1} (n ∈ IN) .

a) Bestimme das Folgenglied a_{6} (Es ist eine Formel anzugeben!) Beweise:

b) (a_{n})_{n∈IN} ist streng monoton wachsend.

c) (a_{n})_{n∈IN} ist beschränkt (zeige: 0 ≤ a_{n} < 2 ∀ n ∈ IN)

d) Bestimme den Grenzwert von (a_{n})_{n∈IN}. (4)

33. Aufgabe: Sei a_{n} := \frac{F_{n+1}}{F_{n}} (∀ n ∈ IN) . Dabei bezeichnet F_{n} die n–te Fibonacci–Zahl. Beweise, daß die Folge (a_{n})_{n∈IN} konvergent ist und bestimme ihren Grenzwert. (Hinweis: Man kann die explizite Formel für F_{n} aus (6.10e) benutzen!) (3)

34. Aufgabe: Bestimme den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈IN} für:

a) a_{n} = ^{n} \sqrt{3^{n} + 7^{n}} (Hinweis: Einschließungssatz!)

b) a_{n} = (\frac{n}{n + 1})^{n+1} (Hinweis: Grenzwertsätze!) (4)

35. Aufgabe: Es sei M ⊆ IR eine nichtleere Teilmenge. Beweise:

a) M besitzt höchstens ein Supremum (Zeige: Sind s, s′ ∈ IR Suprema von M, so folgt s = s′)

b) Eine oberer Schranke s von M, die zu M gehört, ist das Supremum von M

c) Eine obere Schranke s ∈ IR von M ist genau dann das Supremum von M, wenn gilt: Zu jedem ε > 0 gibt es mindestens ein x ∈ M mit s − ε < x

d) Formuliere die entsprechenden Aussagen für Infima. (4)

Deckblatt nicht vergessen!