Bitte beachten!

Füllen Sie bitte für jede Übung das beigefügte Deckblatt aus und heften Sie es an Ihre Aufgaben. Sie erleichtern uns damit unsere Listenführung und helfen mit, das Chaos, das wir am Ende des letzten Semesters mit den Punktelisten hatten, zu vermeiden. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit!

Sollte bei einer der ersten beiden Übungen das Deckblatt fehlen, gibt es nur die halbe Punktzahl, danach werden Übungen ohne ausgefülltes Deckblatt nicht mehr gewertet.

Mathematik für Informatiker II

Sommersemester 2001 Deckblatt zu Übung Nr.^{∗}

Name:^{∗}

Vorname:^{∗}

Matrikelnr.:^{∗} Gruppe:^{∗}^{†} Bemerkung:^{∗}^{‡}

Erreichte Punkte:^{§}

Aufgabe:  Summe Korrektor

Punkte:

∗Bitte lesbar (in Druckschrift) ausfüllen! †Bitte angeben: Tag, von-bis, Tutor; z. B. DI 09-11 Nelius ‡Hier z. B. Wechsel der Übungsgruppe angeben §Wird vom Korrektor ausgefüllt

6. Übungsblatt

MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER II (SS 2001) Abgabe:Freitag 1.6.2001 bis 11.00 Uhr !!! Abgabeort: s. Internet Internet–Adresse der Vorlesung: http://math–www.uni–paderborn.de/~chris/index10.html

26. Aufgabe: Es seien a und b komplexe Zahlen. Beweise:

a) | |a| − |b| | ≤ |a − b| (Hinweis: Dreiecksungleichung)

b) |\overline{a}| = |a|. (3)

27. Aufgabe: Sei (a_{n})_{n∈IN} eine konvergente Folge komplexer Zahlen mit dem Grenzwert a ∈ C. Beweise:

a) Die Folge (|a_{n}|) ist konvergent und hat den Grenzwert |a|

b) Die Folge (\overline{a_{n}}) ist konvergent und hat den Grenzwert \overline{a}. (4)

28. Aufgabe: (a_{n}) und (b_{n}) seien Folgen komplexer Zahlen. Es sei vorausgesetzt, daß die Folgen (a_{n} + b_{n}) sowie (a_{n} − b_{n}) konvergent sind und den Grenzwert a bzw. b besitzen. Beweise:

a) Die Folge (a_{n}) ist konvergent mit dem Grenzwert \frac{1}{2}(a + b).

b) Die Folge (b_{n}) ist konvergent mit dem Grenzwert \frac{1}{2}(a − b).

c) Die Folge (a_{n}b_{n}) ist konvergent mit dem Grenzwert \frac{1}{4}(a^{2} − b^{2}). (3)

29. Aufgabe: a) (a_{n}) und (b_{n}) seien konvergente Folgen reeller Zahlen.

a) Beweise: a_{n} ≤ b_{n} (∀ n ∈ IN) ⟹ lim_{n→∞} a_{n} ≤ lim_{n→∞} b_{n} (Hinweis: indirekter Beweis)

b) Untersuche, ob die folgende Aussage immer richtig ist:

a_{n} < b_{n} (∀ n ∈ IN) ⟹ lim_{n→∞} a_{n} < lim_{n→∞} b_{n} (4)

30. Aufgabe: Bestimme den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈IN} in den folgenden Fällen:

a) a_{n} = \frac{⌊nx⌋}{n} (x ∈ IR fest)  b) a_{n} = \frac{3^{n} + 2i}{4^{n}}  c) a_{n} = \frac{2^{n}}{n!}  (4)

Deckblatt nicht vergessen!