Bitte beachten!

Füllen Sie bitte für jede Übung das beigefügte Deckblatt aus und heften Sie es an Ihre Aufgaben. Sie erleichtern uns damit unsere Listenführung und helfen mit, das Chaos, das wir am Ende des letzten Semesters mit den Punktelisten hatten, zu vermeiden. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit!

Sollte bei einer der ersten beiden Übungen das Deckblatt fehlen, gibt es nur die halbe Punktzahl, danach werden Übungen ohne ausgefülltes Deckblatt nicht mehr gewertet.

Mathematik für Informatiker II

Sommersemester 2001 Deckblatt zu Übung Nr.^{∗}

Name:^{∗}

Vorname:^{∗}

Matrikelnr.:^{∗} Gruppe:^{∗}^{†} Bemerkung:^{∗}^{‡}

Erreichte Punkte:^{§}

Aufgabe:  Summe Korrektor

Punkte:

∗Bitte lesbar (in Druckschrift) ausfüllen! †Bitte angeben: Tag, von-bis, Tutor; z. B. DI 09-11 Nelius ‡Hier z. B. Wechsel der Übungsgruppe angeben §Wird vom Korrektor ausgefüllt

5. Übungsblatt

MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER II (SS 2001)

Abgabe:Freitag 25.5.2001 bis 11.00 Uhr !!!

Abgabeort: s. Internet Internet–Adresse der Vorlesung:

http://math–www.uni–paderborn.de/~chris/index10.html

21. Aufgabe: Bestimme alle 3–ten Wurzeln aus der komplexen Zahl 8i und mache die Probe. Veranschauliche das Ergebnis zeichnerisch in der Gauß’schen Zahlenebene. Hinweis:

Folgendes könnte nützlich sein: cos(\frac{π}{6} ) = \frac{1}{2}\sqrt{3} , sin(\frac{π}{6} ) = \frac{1}{2}. (3)

22. Aufgabe: Sei a_{n} := \frac{3}{5n^{2}} (∀n ∈ IN). Beweise durch direkte Anwendung der Definition (15.2), daß die Folge (a_{n})_{n∈IN} gegen 0 konvergiert. Bestimme speziell für ε = 10^{−5} eine Zahl n_{0}(ε) ∈ IN mit der Eigenschaft |a_{n} − 0| < ε ∀ n ≥ n_{0}(ε). Dieselbe Aufgabe für ε = 10^{−10}. (3)

23. Aufgabe: Es ei (a_{n})_{n∈IN} eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a und c eine beliebige komplexe Zahl. Beweise auf Grundlage der Definition (15.2), daß die Folge (c · a_{n})_{n∈IN} gegen ca konvergiert. (3)

24. Aufgabe: a) Bestimme mit Hilfe das Grenzwertsatzes (15.8) den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈IN} in den folgenden Fällen (dabei ist jeder einzelne Schritt zu begründen!):

i) a_{n} = \frac{3n^{3} + 2n^{2} − 1}{4n^{3} − n + 15} ii) a_{n} = \frac{3n^{2} − 4n + 2}{4n^{3} + n^{2} − 13}

b) Bestimme den Grenzwert der Folge (a_{n})_{n∈IN} mit a_{n} = \frac{2}{n^{2}} + (\frac{\sqrt{3}}{n} + i)^{2} (5)

25. Aufgabe: Schnelle Multiplikation und Division in C.

Hintergrund: Multiplikation und Division komplexer Zahlen, die in der Form z = x + iy gegeben sind (x, y ∈ IR), werden auf Multiplikationen und Divisionen reeller Zahlen zurückgeführt. (Natürlich werden auch reelle Additionen und Subtraktionen dabei verwendet. Diese sind aber so “billig“, daß wir sie für diese Aufgabe nicht zählen!) Für eine gute Implementierung der Arithmetik in C ist es wichtig, möglichst wenig reelle Divisionen und Multiplikationen zu verwenden. Als “Preis“ werden dann aber einige Zwischenergebnisse abspeichert und mehrfach verwendet.

Seien x_{1}, x_{2}, y_{1}, y_{2} ∈ IR reelle Zahlen und z_{1} = x_{1} + iy_{1} und z_{2} = x_{2} + iy_{2} komplexe Zahlen.

a) Zeige, daß Real- und Imaginärteil des Produktes z_{1} · z_{2} mit zusammen (höchstens) vier Multiplikationen oder Divisionen in IR berechnet werden können.

b) Zeige, daß Real- und Imaginärteil von \frac{z_{1}}{z_{2}} mit zusammen (höchstens) acht Multiplikationen oder Divisionen in IR berechnet werden können.

c) Zwei komplexe Zahlen z_{1} und z_{2} können auch mit lediglich drei Multiplikationen oder Divisionen in IR multipliziert werden. Gib dazu eine Rechenvorschrift an. Hinweis: Es ist hilfreich, die Gleichung (x_{1} + y_{1})(x_{2} + y_{2}) − x_{1}x_{2} − y_{1}y_{2} = x_{1}y_{2} + x_{2}y_{1} zu verwenden. (4)

d) (ohne Wertung:) Untersuche, ob sich mit Hilfe der Idee aus c) der Quotient \frac{z_{1}}{z_{2}} mit nur sieben Multiplikationen oder Divisionen in IR ausrechnen läßt. Wie? Kommt man sogar mit nur sechs Multiplikationen oder Divisionen aus? Ein Tip: Falls y_{2} ≠ 0 ist, kann man an geeigneter Stelle durch diese reelle Zahl teilen.

Deckblatt nicht vergessen!