Bitte beachten!

Füllen Sie bitte für jede Übung das beigefügte Deckblatt aus und heften Sie es an Ihre Aufgaben. Sie erleichtern uns damit unsere Listenführung und helfen mit, das Chaos, das wir am Ende des letzten Semesters mit den Punktelisten hatten, zu vermeiden. Vielen Dank für Ihre Mitarbeit!

Sollte bei einer der ersten beiden Übungen das Deckblatt fehlen, gibt es nur die halbe Punktzahl, danach werden Übungen ohne ausgefülltes Deckblatt nicht mehr gewertet.

Mathematik für Informatiker II

Sommersemester 2001 Deckblatt zu Übung Nr.^{∗}

Name:^{∗}

Vorname:^{∗}

Matrikelnr.:^{∗} Gruppe:^{∗}^{†} Bemerkung:^{∗}^{‡}

Erreichte Punkte:^{§}

Aufgabe:  Summe Korrektor

Punkte:

∗Bitte lesbar (in Druckschrift) ausfüllen! †Bitte angeben: Tag, von-bis, Tutor; z. B. DI 09-11 Nelius ‡Hier z. B. Wechsel der Übungsgruppe angeben §Wird vom Korrektor ausgefüllt

4. Übungsblatt

MATHEMATIK FÜR INFORMATIKER II (SS 2001) Abgabe:Freitag 18.5.2001 bis 11.00 Uhr !!! Abgabeort: s. Internet Internet–Adresse der Vorlesung: http://math–www.uni–paderborn.de/~chris/index10.html

16. Aufgabe: Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen:

a) A = ( \begin{matrix}2 & 0 & −1 & 3 \\ 1 & −2 & 1 & 0 \\ −1 & 0 & 2 & 1 \\ 2 & 1 & −1 & 2 \end{matrix} ) ∈ M_{4}(IR) b) B = ( \begin{matrix}1 & −3 i & −2 + i \\ 0 & −2 & 0 \\ 2 − i & 5 & 1 + 2 i \end{matrix} ) ∈ M_{3}(C)

c) C = ( \begin{matrix}6 & 2 \\ 7 & 9 \end{matrix} ) ∈ M_{2}(ZZ_{11})  d) D = ( \begin{matrix}4 & 5 & 6 \\ 5 & 2 & −2 \\ 7 & −2 & 2 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR)  (4)

17. Aufgabe: D_{n} = (a_{ik}) = ( \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & … & a_{1n} \\ 0 & a_{22} & a_{23} & … & a_{2n} \\ 0 & 0 & a_{33} & … & a_{3n} \\ ⋮ & ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & 0 & … & a_{nn} \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K) sei eine obere Dreiecks-

matrix (hierfür gilt a_{ik} = 0 für alle i > k). Finde eine “einfache“ Formel für det(D_{n}) und beweise diese durch vollständige Induktion. (Hinweis: Berechne zunächst det(D_{1}), det(D_{2}), det(D_{3})) (3)

18. Aufgabe: a) Es sei G ∈ M_{n}(K) eine Elementarmatrix. Beweise: det(^{t}G) = det(G). (Hinweis: Behandle die drei möglichen Fälle einzeln).

b) Es sei A ∈ GL_{n}(K). Beweise: det(^{t}A) = det(A) (Hinweis: Benutze a) und den Determinantenproduktsatz). (4)

19. Aufgabe: Die Abbildung f : K^{n} ⟶ K^{n} sei definiert durch f(( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} )) = ( a_{1}b_{1} ; ⋮ ; a_{n}b_{n} ) für

( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ K^{n}. Hierbei sind b_{1}, …, b_{n} feste Elemente aus K.

a) Beweise, daß f eine K–lineare Abbildung ist

b) Bestimme die Darstellungsmatrix von f

c) Beweise, daß f genau dann ein Isomorphismus ist, wenn b_{1} · b_{2} · . . . · b_{n} ≠ 0 gilt. (3)

20. Aufgabe: a) Berechne für die komplexen Zahlen (3+2i)^{3} und \frac{1 + i}{2 − 3i} die arithmetische Darstellung. b) Berechne i^{n} für alle n ∈ IN_{0}. (4)

Deckblatt nicht vergessen!