Lösen polynomialer Gleichungssysteme: Kondition und Komplexität

Prof. Peter Bürgisser, Sommersemester 2011


Termine

Vorlesung (V2)
Di 09:00 - 10:30       D1.320  Peter Bürgisser

Beginn Vorlesung
Mi 13. April

Aktuelles


Inhalt der Vorlesung

Das Lösen von Gleichungen ist eines der zentralen Probleme der Mathematik.

Der Fall f(z)=0 eines Polynoms in einer Variable führt auf den Fundamentalsatz der Algebra, der erstmals von Gauß bewiesen wurde, und auf natürliche Weise zum Körper der komplexen Zahlen. Die Betrachtung von Systemen von Polynomgleichungen

f1(z1,...,zn)= 0, ..., fn(z1,...,zn) = 0
führt zum Satz von Bézout in den Bereich der algebraischen Geometrie.

Doch wie schwierig ist die algorithmische Lösung dieser Probleme?

In den 90-er Jahren schrieben Shub und Smale eine Reihe von Arbeiten mit dem Titel "Complexity of Bézout's Theorem" zu diesem Thema. In diesen Arbeiten findet man eine Symbiose von Ideen aus der Numerik, Geometrie und Wahrscheinlichkeitstheorie. Ein zentrales Konzept ist der Begriff der Konditionszahl, angepasst an diesen Kontext.

Am Ende dieser Reihe von Arbeiten steht das 17. Problem von Smale für das 21. Jahrhundert.

"Can a zero of n complex polynomial equations in n unknowns be found approximately, on the average, in polynomial time with a uniform algorithm?"

Wichtige Fortschritte in dieser Frage erzielten Beltran und Pardo (2008) und Bürgisser und Cucker (2010).

Diese Spezialvorlesung wird diese Thematik gründlich erarbeiten. Eine Monographie zu diesem Thema (zusammen mit Felipe Cucker) ist in Vorbereitung und wird als Vorversion an die Teilnehmer abgeben werden.

Die Vorlesung soll an forschungsnahe Themen heranführen.

Die Veranstaltung gehört zum Modul 5.3.3.x des Masterstudiengangs Mathematik.

Literaturangaben