Seminar über Darstellungstheorie symmetrischer Gruppen

Termin: Dienstag, 9:15 - 10:45 Uhr im E2.304

Vorbesprechung: Dienstag, 22. Mai 2007

Beginn: Dienstag, 29. Mai 2007

Voraussetzungen: Besuch der Vorlesung um WS 2006/2007 oder äquivalente Kenntnisse.

Inhalt

Zwei Themenkomplexe sollen behandelt werden:
A. Littlewood-Richardson Regel zur Multiplikation von Schurpolynomen.
B. Darstellungstheorie der vollen komplexen linearen Gruppen Gl_m(C) .

Zu A: Die Littlewood-Richardson Regel ist ein Höhepunkt dieser ganzen Theorie und auch heute noch von grossem aktuellen Interesse. Sie hängt eng zusammen mit der Robinson-Schenstedt-Knuth Korrespondenz sowie einem weiteren kombinatorischen Algorithmus, dem sogenannten Jeu de Taquin von Schützenberger. Die Beschreibung eines gewissen Monoids mittels Erzeugenden und Relationen taucht hier natürlich auf.

Zu B: Es stellt sich heraus, dass die in der Vorlesung behandelten Konzepte zur Beschreibung der Darstellungen von symmetrischen Gruppen in natürlicher Weise auch die Darstellungen von Gl_m(C) liefern! Schurfunktionen entpuppen sich z.B. als nicht anderes als die irreduziblen Charaktere von Gl_m(C). Es sei angemerkt, dass diese Theorie weitreichende Verallgemeinerungen auf die klassischen Gruppen und einfachen Liegruppen (und Algebren) erfahren hat.

Geplante Vorträge:

1. Knuth Relationen und monotone Teilfolgen. Quellen: Sagan, Abschnitte 3.4 +3.5 oder Fulton, Kapitel 3
2. Jeu de Taquin. Quellen: Sagan, Abschnitte 3.7, 3.8, 3.9 oder Fulton, 1.2 + Beweise in folgenden Abschnitten.
3. Littlewood-Richardson Regel. Quellen: Sagan 4.8 + 4.9 oder Fulton, Kapitel 5.
   Anmerkung: In Sagan wird in Kapitel 3 nur der Spezialfall von Permutationen behandelt. Erst in Abschnitt 4.8 wird dann auf die Schnelle verallgemeinert. Im Buch von Fulton wird von Anfang an allgemein vorgegangen. Ich würde empfehlen, in den Vorträgen 1+2 gleich den allgemeinen Fall zu behandeln.
4. Darstellungstheorie von Gl_m(C): Teil I
5. Darstellungstheorie von Gl_m(C): Teil II
   Quelle für diese beiden Vorträge ist Kapitel 6 in W. Fulton and J. Harris. Der Abschnitt 6.1 "Schur functors and their characters" bringt im wesentlichen die Definitionen und Hauptaussagen. Der folgende Abschnitt 6.2 "Proofs" enthält die Beweise. Die inhaltliche Aufteilung auf die Vorträge ist noch zu diskutieren. Grundsätzlich ist zu bemerken, dass W. Fulton and J. Harris unzählige "Exercises" und "Problems" enthält. Nur ein kleiner Teil davon soll in den Vorträgen Eingang finden.

Interessenten für Vorträge sollen sich bitte bald mit mir in Verbindung setzen. Email: pbuerg "at" math.upb.de

Falls die Bücher in der Bibliothek ausgeliehen sind, können wir Fotokopien der relevanten Abschnitte abgeben. Bitte bei Peter Bürgisser oder Peter Scheiblechner melden.

Literatur

• W. Fulton, Young Tableaux, Cambridge University Press, 1997
• W. Fulton and J. Harris, Representation Theory: A First Course, Springer GTM 129, 1991
• B. Sagan, The Symmetric Group, Representations, Combinatorial Algorithms and Symmetric Functions, Springer GTM 203, 2001

Vorträge