Numerik I Wintersemester 97/98 Dr. Walter Oevel 28. 10. 1997

Ü b u n g s b l a t t 2

Aufgabe 5: (Fehlerfortpflanzung) Bei der numerischen Approximation zweiter Ableitungen sind typischerweise Differenzen der Form y_{1} −2 y_{2} +y_{3} mit y_{1} ≈ y_{2} ≈ y_{3} zu bilden. Zeige, daß die Berechnung durch (y_{1} − y_{2}) − (y_{2} − y_{3}) numerisch besser ist als die Berechnung durch (y_{1} − 2 y_{2}) + y_{3}. (4) Anmerkung: zum Vergleich können o.B.d.A. y_{1,2,3} als Maschinenzahlen vorausgesetzt werden. Beachte auch Aufgabe 3.

Aufgabe 6: (Differentielle Fehleranalyse) Ein regelmäßiges n-Eck wird dem Einheitskreis einbeschrieben. Mit der Kantenlänge s_{n} stellt der Gesamtumfang n s_{n} für großes n eine Approximation des Kreisumfangs 2π dar.

a) Zeige geometrisch, daß s_{2n}^{2} = 2 − \sqrt{4 − s_{n}^{2}} gilt. (2)

Mit dem Startwert s_{6} = 1 (warum?) ergibt die Iteration s_{n} → s_{2n} = \sqrt{2 − \sqrt{4 − s_{n}^{2}}} eine monoton gegen

π = 3. 1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 ...

konvergierende Folge π_{n} = n s_{n}/2 mit Indizes der Form n = 6 × 2^{k} , k = 0, 1, 2, ….

b) Zeige geometrisch: π_{n} = n sin(π/n). (1)

c) Führe die ersten 20 … 30 Iterationsschritte aus, liste dabei n, s_{n}, π_{n}, π − n sin(π/n) (Verfahrensfehler), n sin(π/n)−π_{n} (Rundungsfehler) und π −π_{n} (Gesamtfehler) auf! Es interessieren nur die Zahlenwerte, kein Programm-Listing abgeben! (7)

d) Führe eine differentielle Fehleranalyse des Iterationsschrittes s_{n} → s_{2n} durch. Zeige, daß die relativen Darstellungsfehler der Zwischenergebnisse um einen Faktor der Größenordnung n^{2}/π^{2} verstärkt werden. (6)

Mit

k n = 6 × 2^{k}  n^{2}/π^{2}

Abgabe: Mittwoch, 5. 11. 97 , in den Übungsgruppen

10 6 144 3.8... × 10^{6} (⇒ 6...7 Stellen gehen verloren)

15 196 608  3.9... × 10^{9} (⇒ 9...10 Stellen gehen verloren)

20 6.29... × 10^{6} 4.0... × 10^{12} (⇒ 12...13 Stellen gehen verloren)

25 2.01... × 10^{8} 4.1... × 10^{15} (⇒ 15...16 Stellen gehen verloren)

erklärt dies die auftretenden Schwierigkeiten. Wieso fällt die Differenz π − π_{n} zunächst wie erwartet, steigt dann aber wieder an? Unterscheide zwischen den in der Iteration aufgetretenen Rundungsfehlern und dem Verfahrensfehler (d.h. der Tatsache, daß nach Konstruktion die Werte π_{n} lediglich Approximationen von π darstellen).

Anmerkung: durch Formelumstellung ergibt sich die äquivalente Iteration s_{2n} = \frac{s_{n}}{\sqrt{2 + \sqrt{4 − s_{n}^{2}}}} , in der Auslöschung vermieden wird. Hiermit lässt sich π problemlos bis auf ein kleines Vielfaches der Maschinengenauigkeit approximieren.