Numerik I Wintersemester 97/98 Dr. Walter Oevel 27. Januar 1998

Ü b u n g s b l a t t 13

Die folgenden Aufgaben werden nicht mehr auf die “maximal erreichbare Punktzahl” angerechnet, sodaß Zusatzpunkte zur Verbesserung der Punktbilanz erlangt werden können:

Aufgabe 38: (Zur Lagrange-Interpolation)

Es seien L_{i}(x) = ∏_{{j=0 \atop j≠i}}^{n} \frac{x − x_{j}}{x_{i} − x_{j}} die den (paarweise verschiedenen) Stützstellen x_{0}, …, x_{n} zugeordneten

Lagrange-Polynome.

a) Zeige, daß sie eine “Zerlegung der Eins” bilden: ∑_{i=0}^{n} L_{i}(x) = 1 . (1)

Anleitung: betrachte die Interpolation durch die Stützwerte f_{i} = 1.

b) Schließe auf die Identität \frac{1}{∑_{i=0}^{n} \frac{1}{x − x_{i}} ∏_{{j=0 \atop j≠i}}^{n} \frac{1}{x_{i} − x_{j}}} = ∏_{j=0}^{n}(x − x_{j}) . (2)

c) Folgere L_{i}(x) = \frac{\frac{κ_{i}}{x − x_{i}}}{∑_{j=0}^{n} \frac{κ_{j}}{x − x_{j}}} mit κ_{i} = ∏_{{j=0 \atop j≠i}}^{n} \frac{1}{x_{i} − x_{j}} , i = 0, …, n . (1)

d) Zeige ∑_{i=0}^{n} κ_{i} = 0 . (1)

Anleitung: betrachte die höchste x-Potenz in L_{i}(x) = κ_{i} ∏(x − x_{j}) und ∑_{i} L_{i}(x) = 1 .

e) Die “Stützkoeffizienten” κ_{0}, …, κ_{n} zu x_{0}, …, x_{n} seien berechnet. Es wird nun eine weitere Stützstelle x_{n+1} betrachtet. Wie lassen sich die neuen Stützkoeffizienten κ̃_{0}, …, κ̃_{n+1} zu x_{0}, …, x_{n+1} schnell aus den schon vorliegenden Daten ermitteln? (1)

f) Zeige, daß sich im äquidistanten Fall x_{i} = x_{0} + i h (i = 0, …, n) die Darstellung c) der Lagrange-Polynome mit den Stützkoeffizienten κ_{i} = (−1)^{i} \binom{n}{i} ergibt. Hierbei wurde der Faktor (−1)^{n}/(n! h^{n}) fortgelassen (warum?). Wie lassen sich die Koeffizienten mit insgesamt 2n Multiplikationen berechnen? (2)

Aufgabe 39: (Polynominterpolation und Newton-Schema) In der folgenden Wertetabelle

\begin{matrix}x & −0.5 & −0.4 & −0.3 & −0.2 & −0.1 & 0 & 0.1 & 0.2 & 0.3 & 0.4 & 0.5 & 0.6 & 0.7 \\ f(x) & 0.75 & 0.76 & 0.79 & 0.84 & 0.91 & 0.99 & 1.11 & 1.24 & 1.39 & 1.56 & 1.75 & 1.96 & 2.19 \end{matrix}

eines Polynoms niedriger Ordnung ist einer der Funktionswerte falsch. Finde ihn, berichtige ihn,

bestimme das Polynom. Anleitung: berechne die dividierten Differenzen. (3)

Aufgabe 40: (Fehlerabschätzung der Polynominterpolation) Die Funktion f(x) = sin(x) soll äquidistant auf dem Intervall [0, π/2] durch ein Polynom p(x) vom maximalen Grad n interpoliert werden. Wie groß muß n gewählt werden, damit |f(x) − p(x)| < 10^{−10} für alle x ∈ [0, π/2] garantiert werden kann? (3)

Abgabe: Mittwoch, 4. 2., in den Übungsgruppen