Numerik I Wintersemester 97/98 Dr. Walter Oevel 20. Januar 1998

Ü b u n g s b l a t t 11

Aufgabe 34: (Zur Banach-Iteration) Gesucht ist eine positive Lösung (x_{i} > 0) des Gleichungssystems

2 x_{1} + x_{2} = 1 + x_{1}^{2}
x_{i−1} + 2 x_{i} + x_{i+1} = 1 + x_{i}^{2} (i = 2, …, n − 1)
x_{n−1} + 2 x_{n}  = 1 + x_{n}^{2} .

Zeige, daß jeder Fixpunkt der durch

y_{1} = 1 + \sqrt{x_{2}} , y_{i} = 1 + \sqrt{x_{i−1} + x_{i+1}} (i = 2, …, n − 1) , y_{n} = 1 + \sqrt{x_{n−1}}

definierten Abbildung y⃗ = Φ⃗(x⃗) eine solche Lösung liefert. Zeige Φ⃗(Q) ⊂ Q für den Quader Q = { x⃗ ∈ ℝ^{n}; x_{1}, …, x_{n} ∈ [2, 4] }. Finde eine Kontraktionskonstante und berechne für n = 100 die Norm ||x^{∗}||_{∞} der Lösung bis auf 10 Dezimalstellen genau. (5)

Aufgabe 35: (Eigenwertabschätzungen: Gerschgorin-Kriterium und Rayleigh-Quotienten)

a) Finde über das Gerschgorin-Kriterium eine obere Schranke für

cond_{2} ( \begin{matrix}4 & 2 & 1 \\ 2 & 5 & 2 \\ 1 & 2 & 6 \end{matrix} ) .  (1)

Anleitung: für symmetrisches A mit den Eigenwerten λ_{i} gilt cond_{2}(A) = ρ(A)ρ(A^{−1}) = max_{i} |λ_{i}|/ min_{i} |λ_{i}|.

b) Zeige, daß die Näherungen λ_{±} = ±10^{10} zwei Eigenwerte der Matrix

( \begin{matrix}1 & 10^{10} & 0 \\ 10^{10} & 10^{20} & 10^{30} \\ 0 & 10^{30} & 10^{40} \end{matrix} )

bis auf etwa 10 Dezimalstellen relativer Genauigkeit approximieren. (5)

Anleitung: Satz 6.3.b) mit den approximativen Eigenvektoren x⃗_{±} = (1, ±1, ∓ε)^{T}, ε = 10^{−10}.

Aufgabe 36: (Konvergenz gegen einen Eigenraum) Die Konvergenz einer Vektorfolge x^{(i)} = x_{E}^{(i)} + x_{F}^{(i)} gegen den Unterraum E ⊂ ℂ^{n} = E ⊕ F ist in 6.11 durch lim_{i→∞} ||x_{F}^{(i)}||/||x^{(i)}|| = 0 definiert. Zeige, daß diese Definition unabhängig von der Wahl des Komplementärraums F ist. (2)

Anleitung: seien x⃗ = x⃗_{E} + x⃗_{F} = y⃗_{E} + y_{F′} die Zerlegungen bzgl. E ⊕ F bzw. E ⊕ F′. Beachte: Aus z⃗ → 0 folgt stets z⃗_{E} → 0 und z⃗_{F} → 0 .

Abgabe: Mittwoch, 28. 1., in den Übungsgruppen