Numerik I Wintersemester 97/98 Dr. Walter Oevel 15. 10. 1997

Ü b u n g s b l a t t 1

Die erreichbaren Punkte sind in Klammern angegeben.

Aufgabe 1: (Zur Gleitpunktdarstellung) Es sei eine Basis E ∈ {2, 3, …} und eine Mantisse a ∈ [E^{−1}, 1) gegeben. Mit der üblichen Gaußklammer ⌊ ⌋ sind die Ziffern von a zur Basis E rekursiv durch

a_{1} = ⌊a E⌋ , a_{n} = ⌊(a − ∑_{i=1}^{n−1} a_{i} E^{−i}) E^{n}⌋ , n = 2, 3, …

definiert. Zeige: a_{n} ∈ {0, 1, …, E − 1}, a_{1} ≠ 0 und 0 ≤ a − ∑_{i=1}^{n} a_{i} E^{−i} < E^{−n}, n = 1, 2, … (4)

Anleitung: δ_{n} = a−∑^{n} a_{i}E^{−i} erfüllt δ_{n} = δ_{n−1}−⌊δ_{n−1}E^{n}⌋E^{−n}, es gilt x−⌊x⌋ ∈ [0, 1)∀x ∈ ℝ.

Aufgabe 2: (Zur Gleitpunktdarstellung)

Finde die Gleitpunktdarstellung rd(x) = ± ( ∑_{i=1}^{N} a_{i}E^{−i}) E^{b} der Zahlen 20 und

π = 3.1415926... auf N = 5 Binärstellen (also Basis E = 2). (4)

Aufgabe 3: (Zur “Auslöschung” zweier Zahlen) Beweise die folgende Behauptung: (8)

Es seien x und y zwei in einer beliebigen Basis auf eine beliebige Stellenzahl dargestellte Maschinenzahlen gleichen Vorzeichens. Wenn 1/2 ≤ x/y ≤ 2 gilt, dann ist die Differenz x − y wieder eine Maschinenzahl. Mit

rd(x − y) = x − y ( exakt ! )

tritt kein Rundungsfehler auf!

Anleitung: Mit den Exponenten a,b und den Mantissenziffern x_{1}, …, x_{N}, y_{1}, …, y_{N} seien die N-stelligen Darstellungen

x = x_{1} E^{a−1} + ⋯ + x_{N} E^{a−N} , y = y_{1} E^{b−1} + ⋯ + y_{N} E^{b−N} ,
x_{1}, …, y_{N} ∈ {0, 1, …, E − 1} , x_{1}, y_{1} ≠ 0

zur Basis E ∈ {2, 3, …} gegeben. O.B.d.A. gelte 0 < y ≤ x und damit b ≤ a. Zeige zunächst, daß die Differenz

x − y = z_{1} E^{a−1} + ⋯ + z_{N+a−b} E^{b−N} , z_{1}, …, z_{N+a−b} ∈ {0, 1, …, E − 1}

mit maximal N + a − b Stellen dargestellt werden kann. Aus der Voraussetzung x/y ≤ 2 folgt dann entweder a = b oder a = b + 1, z_{1} = 0.

Aufgabe 4: (Fehlerfortpflanzung) Berechne die Verstärkungsfaktoren des Fehlers von \sqrt{2} bei der Berechnung von

x = 2 \frac{71 − 25 \sqrt{2}}{71 − 50 \sqrt{2}} , y = − \frac{100}{71 − 50 \sqrt{2}}

in Beispiel 1.3 der Vorlesung. (4)

Abgabe: Mittwoch, 29. 10. 97, in den Übungsgruppen