§ 22 . Diagonalisierbare Endomorphismen und Matrizen

Wir wollen untersuchen, wann es für einen Endomorphismus f : V ⟶ V eine Basis B von V gibt, so daß M_{B}^{B}(f) eine Diagonalmatrix ist.

\underline{(22.1) DEF:} a) Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum. Ein K–Endomorphismus f : V ⟶ V heißt diagonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so daß die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f) eine Diagonalmatrix ist.

b) Eine Matrix M ∈ M_{n}(K) heißt diagonalisierbar, wenn M zu einer Diagonalmatrix ähnlich ist.

\underline{(22.2) BEM:} a) M ∈ M_{n}(K) diagonalisierbar ⟺ f_{M} : K^{n} ⟶ K^{n} diagonalisierbar.

b) Das charakteristische Polynom einer Diagonalmatrix D := diag(λ_{1}, …, λ_{n}) ist

p_{D} = \begin{matrix}λ_{1} − T & 0 & … & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} − T \end{matrix} = ∏_{i=1}^{n}(λ_{i} − T) = (−1)^{n} ∏_{i=1}^{n}(T − λ_{i})

Hier stehen also die Eigenwerte von D in der Haupdiagonalen, und es gilt det(D) = λ_{1} ·. . .·λ_{n} und spur(D) = λ_{1} + … + λ_{n}.

c) M ≈ diag(λ_{1}, …, λ_{n}) ⟹ p_{M} = (−1)^{n} ∏_{i=1}^{n}(T − λ_{i}) nach (20.17a).

d) Ist f ∈ End_{K}(V) diagonalisierbar mit M_{B}^{B}(f) = diag(λ_{1}, …, λ_{n}), so folgt nach (20.18)

p_{f} = (−1)^{n} ∏_{i=1}^{n}(T − λ_{i}) , und λ_{1}, …, λ_{n} sind alle Eigenwerte von f. Insbesondere zerfällt hier

das charakteristische Polynom in Linearfaktoren.

e) f (bzw. M) diagonalisierbar ⟹ f (bzw. M) trigonalisierbar.

\underline{(22.3) LEMMA:} Sind λ_{1}, …, λ_{s} ∈ K paarweise verschiedene Eigenwerte von f ∈ End_{K}(V), so gilt

∑_{i=1}^{s} Eig(f, λ_{i}) = ⨁_{i=1}^{s} Eig(f, λ_{i})

\underline{(22.4) SATZ:} Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum. Für einen K–Endomorphismus f : V ⟶ V sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist diagonalisierbar.

b) Es gibt eine Basis B von V, die aus Eigenvektoren von f besteht, eine sog. Eigenbasis von V.

c) Sind λ_{1}, …, λ_{s} ∈ K alle (paarweise verschiedenen) Eigenwerte von f, so gilt V = ∑_{i=1}^{s} Eig(f, λ_{i}).

d) Sind λ_{1}, …, λ_{s} ∈ K alle (paarweise verschiedenen) Eigenwerte von f, so gilt V = ⨁_{i=1}^{s} Eig(f, λ_{i}).

\underline{(22.5) LEMMA:} Sei dim_{K}(V) = n. Dann gilt für einen Eigenwert λ ∈ K von f ∈ End_{K}(V)

1 ≤ dim_{K}(Eig(f, λ)) ≤ μ(p_{f}, λ) ≤ n .

Hierbei heißt dim_{K}(Eig(f, λ)) die geometrische und μ(p_{f}, λ) die algebraische Vielfachheit des Eigenwertes λ.

\underline{(22.6) SATZ:} Sei V ein n–dimensionaler K–Vektorraum (n ∈ IN). Für einen K–Endomorphismus f : V ⟶ V sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist diagonalisierbar

b) Das charakteristische Polynom p_{f} von f zerfällt in K[T] in Linearfaktoren, und für jeden Eigenwert λ ∈ K von f gilt

dim_{K}(Eig(f, λ)) = μ(p_{f}, λ)

\underline{(22.7) BEISPIELE:} a) Die IR–lineare Abbildung f : IR^{3} ⟶ IR^{3} besitze die Darstellungs-

matrix M = ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ −3 & −2 & 3 \\ −2 & −2 & 3 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR). Dann gilt:

p_{f} = p_{M} = det(M − T E_{3}) = \begin{matrix}−T & −1 & 1 \\ −3 & −2 − T & 3 \\ −2 & −2 & 3 − T \end{matrix} = − T^{3} + T^{2} + T − 1 =

(T^{2} − 1)(1 − T) = \underline{−(T − 1)^{2}(T + 1)} .

Damit zerfällt p_{f} in Linearfaktoren, und f ist nach (21.5) trigonalisierbar. Die Eigenwerte von f sind 1 (zweifach) und −1 (einfach). Außerdem ist

dim_{IR}(Eig(f, 1) = 3 − rg(M − E_{3}) = 2 = μ(p_{f}, 1) und

dim_{IR}(Eig(f, −1) = 3 − rg(M + E_{3}) = 1 = μ(p_{f}, −1) .

Damit ist f nach (22.6) diagonalisierbar. Wählt man eine Basis B von IR^{3}, die aus 3 linear unabhängigen Eigenvektoren von f besteht, so gilt

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & −1 \end{matrix} ) ,

und M ist ähnlich zu diag(1, 1, −1) .

b) Die IR–lineare Abbildung g : IR^{3} ⟶ IR^{3} besitze die Darstellungsmatrix N = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) ∈

M_{3}(IR). Dann gilt: p_{g} = p_{N} = det(N − T E_{3}) = \begin{matrix}−T & 1 & 0 \\ 0 & −T & 2 \\ 0 & 0 & −T \end{matrix} = (−T)^{3}, also zerfällt

p_{g} in Linearfaktoren, und hat 0 als dreifache Nullstelle. Damit ist g nach (21.5) trigonalisierbar. Jedoch gilt dim_{IR}(Eig(g, 0)) = 3 − rg(N) = 1 ≠ 3 = μ(p_{g}, 0) , so daß g nicht diagonalisierbar ist.