§ 21 . Trigonalisierbare Endomorphismen und Matrizen

Wir wollen untersuchen, wann es für einen Endomorphismus f : V ⟶ V eine Basis B von V gibt, so daß M_{B}^{B}(f) eine obere Dreiecksmatrix ist.

\underline{(21.1) DEF:} a) Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum. Ein K–Endomorphismus f : V ⟶ V heißt trigonalisierbar, wenn es eine Basis B von V gibt, so daß die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f) eine eine obere Dreiecksmatrix ist.

b) Eine Matrix M ∈ M_{n}(K) heißt trigonalisierbar, wenn M zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich ist.

\underline{(21.2) DEF:} V sei ein n–dimensionaler K–Vektorraum.

a) Eine Folge (U_{i})_{i=0,1,...,n} von Unterktorräumen U_{i} von V heißt eine Fahne von V, wenn gilt:

i) dim_{K}(U_{i}) = i für alle i = 0, 1, …, n

ii) U_{0} ⊂ U_{1} ⊂ U_{2} ⊂ … ⊂ U_{n−1} ⊂ U_{n} = V

b) Sei f ∈ End_{K}(V) .

Ein Untervektorraum U ⊆ V heißt f–invariant, wenn gilt: f(U) ⊆ U .

Eine Fahne (U_{i})_{i=0,1,...,n} von V heißt f–invariant, wenn jeder Untervektorraum U_{i} f–invariant ist.

\underline{(21.3) SATZ:} Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum. Für einen K–Endomorphismus f : V ⟶ V sind folgende Aussagen äquivalent:

a) f ist trigonalisierbar

b) Es existiert eine f–invariante Fahne von V .

\underline{(21.4) BEM:} a) M ∈ M_{n}(K) trigonalisierbar ⟺ f_{M} : K^{n} ⟶ K^{n} trigonalisierbar.

b) Das charakteristische Polynom einer oberen Dreiecksmatrix M = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) ist

p_{M} = ∏_{i=1}^{n}(a_{ii} − T) . Damit zerfällt p_{M} in Linearfaktoren, und die Haupdiagonalelemente

a_{ii} (i = 1, …, n) sind gerade die Eigenwerte von M. Ist die Matrix M ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix, so zerfällt p_{M} ebenfalls in Linearfaktoren (20.17b), da ähnliche Matrizen dasselbe charakteristische Polynom haben..

\underline{(21.5) SATZ:} a) Sei V ein endlichdimensionaler K–Vektorraum und f : V ⟶ V ein K– Endomorphismus. Dann gilt: f ist trigonalisierbar ⟺ das charakteristische Polynom p_{f} von f zerfällt in K[T] in Linearfaktoren.

b) Für eine Matrix M ∈ M_{n}(K) gilt: M ist trigonalisierbar ⟺ das charakteristische Polynom p_{M} von M zerfällt in K[T] in Linearfaktoren.

\underline{Bew:} a) Der Beweis läßt sich auf b) zurückführen.

b) “⟹” Gilt nach (21.4b)

“⟸” Wir führen vollständige Induktion nach n ∈ IN :

\underline{n = 1} M ∈ M_{1}(K) ist schon eine obere Dreiecksmatrix.

\underline{n = 2} Sei M ∈ M_{2}(K). Da p_{M} in Linearfaktoren zerfällt, gibt es einen Eigenwert λ_{1} ∈ K von M. Sei v_{1} ein Eigenvektor von M zum Eigenwert λ_{1}.Ergänze {v_{1}} zu einer Basis {v_{1}, v_{2}} von K^{2}. Sei P := (v_{1} v_{2}) ∈ M_{2}(K) die Matrix mit den Spalten v_{1}, v_{2}. Dann folgt P ∈ GL_{2}(K) und

P^{−1} · M · P = ( \begin{matrix}λ_{1} & ⋆ \\ 0 & ⋆ \end{matrix} ) , d.h. M ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix. Damit ist M

trigonalisierbar.

\underline{(IV)} Sei n ∈ IN, n > 1 beliebig aber fest, und es sei jede Matrix aus M_{n−1}(K) , deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt, trigonalisierbar.

\underline{(IS)} Sei M ∈ M_{n}(K) eine beliebige Matrix, deren charakteristisches Polynom in Linearfaktoren zerfällt. Zu zeigen ist, daß M zu einer oberen Dreiecksmatrix ähnlich ist.

Nach Voraussetzung über p_{M} existiert mindestens ein Eigenwert λ_{1} ∈ K von M. Sei v_{1} ∈ K^{n} ein zugehöriger Eigenvektor. Ergänze {v_{1}} zu einer Basis {v_{1}, v_{2}, …, v_{n}} von K^{n} (dies kann auf ganz unterschiedliche Weise geschehen!). Sei P die Matrix mit den Spalten v_{1}, v_{2}, …, v_{n}. Dann gilt P ∈ GL_{n}(K) und

P^{−1} · M · P = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & N \\ 0 \end{matrix} )

mit einer Matrix N ∈ M_{n−1}(K). Wegen p_{M} = (λ_{1} −T)·p_{N} zerfällt auch p_{N} in Linearfaktoren, so daß es nach (IV) eine Matrix Q ∈ GL_{n−1}(K) gibt, für die

Q^{−1} · N · Q = ( \begin{matrix}λ_{2} & & & & ∗ \\ & . & . & . \\ 0 & & & & λ_{n} \end{matrix} )

eine obere Dreiecksmatrix ist. Setze

R := ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 \\ ⋮ & & Q \\ 0 \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K)

Wegen det(R) = det(Q) ≠ 0 ist R invertierbar, und es gilt

R^{−1} = ( \begin{matrix}1 & 0 & … & 0 \\ 0 \\ ⋮ & & Q^{−1} \\ 0 \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K)

Man rechnet nun nach, daß :

R^{−1}P^{−1}MP R = R^{−1} ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & N \\ 0 \end{matrix} ) R = ( \begin{matrix}λ_{1} & ∗ & … & ∗ \\ 0 \\ ⋮ & & Q^{−1}NQ \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}λ_{1} & & & & & ∗ \\ & λ_{2} \\ & & . & . & . \\ 0 & & & & & λ_{n} \end{matrix} )

eine obere Dreiecksmatrix ist. Mit S := P · R ∈ GL_{n}(K) ist dann S^{−1}MS eine obere Dreiecksmatrix, d.h. die Matrix M ist trigonalisierbar.

\underline{(21.6) FOLG:} a) Ist V ein endlichdimensionaler C–Vektorraum, so ist jeder C–Endomorphismus f von V trigonalisierbar.

b) Jede Matrix aus M_{n}(C) ist ähnlich zu einer oberen Dreiecksmatrix.

\underline{Bew:} Nach dem Fundamentalsatz (D.6) zerfällt jedes nichtkonstante Polynom aus C[T] in Linearfaktoren.

\underline{(21.7) BEISPIEL:} Wir wollen die Überlegungen, die zum Beweis von (21.5b) angestellt wurden, in einem konkreten Fall nachvollziehen. Sei

M := ( \begin{matrix}0 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ −1 & −1 & 2 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR)

Man berechnet: p_{M} = det(M − T E_{3}) = −T^{3} + 4T^{2} − 5T + 2 = (2 − T)(T − 1)^{2} . Damit zerfällt das charakteristische Polynom von M in Linearfaktoren über IR, so daß M nach (21.5b) trigonalisierbar ist. Die Eigenwerte von M sind die Nullstellen von p_{M}, hier also 2 und 1 mit der Vielfachheit μ(p_{M}, 2) = 1 bzw. μ(p_{M}, 1) = 2.

Wir wollen jetzt eine Matrix S ∈ GL_{3}(IR) bestimmen mit

S^{−1} · M · S = obere Dreiecksmatrix

Es ist v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ −1 \\ 1 \end{matrix} ) ∈ IR^{3} ein Eigenvektor von M zum Eigenwert 2 (es gilt Mv_{1} = 2v_{1}).

(∗) Ergänze {v_{1}} zu einer Basis B = {v_{1}, v_{2}, v_{3}} von IR^{3} (hier gibt es viele Wahlmöglichkeiten!)

Wir wählen v_{2} := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) und v_{3} := ( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) . Dann ist \{v_{1}, v_{2}, v_{3}\} eine Basis von IR^{3} (dies

kann man etwa mit einer Determinante begründen). Sei P die Matrix mit den Spalten v_{1}, v_{2}, v_{3} (natürlich P ∈ GL_{3}(IR))

P := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & −1 \end{matrix} ) und P^{−1} = ( \begin{matrix}\frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ \frac{1}{2} & −\frac{1}{2} & −1 \end{matrix} )

Es gilt nun:

P^{−1}·M·P = ( \begin{matrix}2 & & −1 & & −1 \\ 0 & | & −1 & & −4 \\ & | & & N \\ 0 & | & 1 & & 3 \end{matrix} ) mit der Matrix N := ( \begin{matrix}−1 & −4 \\ 1 & 3 \end{matrix} ) ∈ M_{2}(IR),

die trigonalisierbar ist (dies entspricht der Induktionsvoraussetzung in dem Beweis von (21.5b)). Für die Matrix Q := ( \begin{matrix}−2 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ) gilt nämlich Q ∈ GL_{2}(IR) und

Q^{−1} · N · Q = ( \begin{matrix}1 & 1 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) (obere Dreiecksmatrix)

Bilde nun die Matrix

R := ( \begin{matrix}1 & 0 & & 0 \\ 0 \\ & & Q \\ 0 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & −2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} )

Dann gilt R ∈ GL_{3}(IR), da det(R) ≠ 0, und mit S := P · R ∈ GL_{3}(IR) ergibt sich

S^{−1} · M · S = (P R)^{−1}M(P R) = R^{−1}P^{−1}MP R = ( \begin{matrix}2 & 1 & −1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

Also ist S^{−1} · M · S eine obere Dreiecksmatrix. An der Stelle (∗) gab es Wahlmöglichkeiten. Wir geben dafür noch zwei weitere Beispiele:

\underline{2. Möglichkeit:} v_{2} := ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix} ) , v_{3} := ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ). Mit der Matrix P := ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ −1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{matrix} ) ∈

GL_{3}(IR) ist dann

P^{−1}MP = ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

schon gleich eine obere Dreiecksmatrix, die übrigen Schritte sind hier nicht mehr erforderlich.

\underline{3. Möglichkeit:} v_{2} := ( \begin{matrix}−2 \\ 0 \\ −2 \end{matrix} ) , v_{3} := ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ). Mit der Matrix P := ( \begin{matrix}1 & −2 & 0 \\ −1 & 0 & 1 \\ 1 & −2 & −1 \end{matrix} ) ∈

GL_{3}(IR) ist dann

P^{−1}MP = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

schon gleich eine obere Dreiecksmatrix, die übrigen Schritte sind hier wieder nicht mehr erforderlich. In diesem letzten Beispiel haben wir sogar die sog. Jordan’sche Normalform von M gefunden, die wir später noch behandeln werden.