Kap. IV Normalformen von Endomorphismen

§ 20 . Eigenwerte und Eigenvektoren

Problem: Die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f) eines Endomorphismus f : V ⟶ V hängt von der zugrundegelegten Basis B ab. Zwei Darstellungsmatrizen einunddesselben Endomorphismus bzgl. verschiedener Basen sind nach (18.33) zueinander ähnlich. Es soll daher untersucht werden, ob es eine Basis gibt, bzgl. der f eine besonders einfach gebaute Darstellungsmatrix (etwa Dreiecksmatrix oder Diagonalmatrix) besitzt.

\underline{(20.1) SATZ:} V sei ein K–Vektorraum mit einer Basis B = (v_{1}, …, v_{n}), und f : V ⟶ V sei ein K–Endomorphismus. Genau dann ist die Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f) eine Diagonalmatrix, wenn es Elemente λ_{1}, …, λ_{n} ∈ K gibt mit der Eigenschaft

f(v_{k}) = λ_{k}v_{k} ∀ k ∈ {1, 2, …, n}

Es gilt dann M_{B}^{B}(f) = diag(λ_{1}, …, λ_{n}) = ( \begin{matrix}λ_{1} & 0 & … & 0 \\ 0 & λ_{2} & & 0 \\ ⋮ & & ... & ⋮ \\ 0 & 0 & … & λ_{n} \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K).

\underline{(20.2) DEF:} V sei ein beliebiger K–Vektorraum und f : V ⟶ V ein K–Endomorphismus.

a) Ein Element λ ∈ K heißt Eigenwert (EW) von f, wenn es einen Vektor v ∈ V gibt mit v ≠ o_{V} und f(v) = λv.

b) Jeder Vektor v ∈ V \{o_{V} } mit f(v) = λv heißt Eigenvektor (EV) von f zum Eigenwert λ.

\underline{(20.3) BEISPIELE:} a) Sei V ein 2–dim. IR–Vektorraum mit einer Basis B = (v_{1}, v_{2}) . Der IR–Endomorphismus f : V ⟶ V sei definiert durch f(v_{1}) = v_{1} und f(v_{2}) = o_{V} (lineare Fortsetzung!) . Dann gilt: v_{1} ist EV von f zum EW 1 , v_{2} ist EV von f zum EW 0 . Außerdem sind 0 und 1 die einzigen EW’e von f . Die Darstellungsmatrix

M_{B}^{B}(f) = ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix} ) = diag(1, 0) ∈ M_{2}(IR)

von f bzgl. B ist eine Diagonalmatrix.

b) V und B seien wie in a) gewählt. Die IR–lineare Abbildung g : V ⟶ V sei mit Hilfe lin. Fortsetzung definiert durch g(v_{1}) = v_{2} , g(v_{2}) = −v_{1} . Dann besitzt g keinen EW (in IR) . c) Sei f ∈ End_{K}(V) : 0 EW von f ⟺ f ist kein Monomorphismus.

d) Sei f ∈ End_{K}(V) : 1 EW von f ⟺ f hat keinen “Fixpunkt” ≠ o_{V}

e) Jeder Vektor v ≠ o_{V} ist EV von id_{V} zum EW 1 .

\underline{(20.4) LEMMA:} Für einen K–Endomorphismus f : V ⟶ V sind äquivalent:

a) f besitzt einen Eigenwert.

b) Es gibt einen 1–dimensionalen Unterraum U ⊆ V mit f(U) ⊆ U.

\underline{(20.5) LEMMA:} f : V ⟶ V sei ein K–Endomorphismus. Für λ ∈ K sind folgende Aussagen äquivalent:

a) λ ist Eigenwert von f. b) Kern(f − λ · id_{V}) ≠ O.

\underline{(20.6) DEF:} f : V ⟶ V sei ein K–Endomorphismus und λ sei ein Eigenwert von f. Dann heißt

Eig(f, λ) := Kern(f − λ · id_{V})

der Eigenraum von f zum Eigenwert λ.

\underline{(20.7) BEM:} a) Eig(f, λ) is nach Definition ein Untervektorraum von V . Die vom Nullvektor verschiedenen Vektoren aus Eig(f, λ) sind genau die Eigenvektoren von f zum EW λ.

b) 0 EW von f ⟹ Eig(f, 0) = Kern(f) .

c) In Beispiel (20.3a) gilt Eig(f, 1) = IRv_{1} , Eig(f, 0) = IRv_{2} = Kern(f) und V = IRv_{1}⊕ = IRv_{2} = Eig(f, 1) ⊕ Eig(f, 0) .

d) Sei dim_{K}(V) = n < ∞. Besitzt dann f ∈ End_{K}(V) den EW λ ∈ K, so ergibt sich mit dem Rangsatz

dim_{K}(Eig(f, λ)) = n − rg_{K}(f − λ · id_{V})

\underline{(20.8) SATZ:} V sei ein beliebiger K–Vektorraum und f ∈ End_{K}(V). Sind dann v_{1}, …, v_{n} ∈ V Eigenvektoren zu paarweise verschiedenen Eigenwerten λ_{1}, …, λ_{n} von f, so ist die Teilmenge {v_{1}, …, v_{n}} ⊆ V linear unabhängig über K.

\underline{(20.9) FOLG:} Gilt dim_{K}(V) = n, so besitzt jeder K–Endomorphismus von V höchstens n Eigenwerte.

\underline{(20.10) FOLG:} Sei dim_{K}(V) = n. Besitzt f ∈ End_{K}(V) genau n paarweise verschiedene Eigenwerte λ_{1}, …, λ_{n}, so gibt es eine Basis B von V, die aus Eigenvektoren von f besteht. Es gilt dann

M_{B}^{B}(f) = diag(λ_{1}, …, λ_{n})

Achtung: Die Bedingung in (20.10) ist nicht notwendig. Für n ≥ 2 ist M_{B}^{B}(id_{V}) = E_{n} = diag(1, 1, …, 1) für jede Basis B von V eine Diagonalmatrix, aber 1 ist einziger EW von id_{V} .

Jede Matrix M ∈ M_{n}(K) definiert eine K–lineare Abbildung f_{M} : K^{n} ⟶ K^{n} durch die Vorschrift

f_{M}(v) = M · v (v ∈ K^{n})

Bzgl. der kanonischen Basis gilt M(f) = M . Mit Hilfe dieser linearen Abbildung lassen sich jetzt die Begriffe “Eigenwert” und “Eigenvektor” auch für Matrizen erklären:

\underline{(20.11) DEF:} Sei M ∈ M_{n}(K) eine Matrix.

a) λ ∈ K heißt Eigenwert von M, falls λ Eigenwert von f_{M} : K^{n} ⟶ K^{n} ist.

b) v ∈ K^{n} heißt Eigenvektor von M, falls v Eigenvektor von f_{M} : K^{n} ⟶ K^{n} ist.

c) Eig(M, λ) := Eig(f_{M}, λ).

λ ∈ K ist also genau dann EW von M wenn es einen Vektor v ∈ K^{n} mit \underline{v ≠ o_{n}} gibt mit der Eigenschaft:

(⋆) M · v = λ v

Jeder Vektor v ∈ K^{n} \ {o_{n}}, der (⋆) erfüllt, heißt ein Eigenvektor von M zum Eigenwert λ.

\underline{(20.12) SATZ:} Für M ∈ M_{n}(K) und λ ∈ K gilt:

a) Ist λ ∈ K Eigenwert von M, so folgt Eig(M, λ) = Lös(M − λE_{n} , o_{n})

b) λ Eigenwert von M ⟺ det(M − λ · E_{n}) = 0.

c) Für einen Eigenwert λ von M ist dim_{K}(Eig(M, λ)) = n − rg(M − λ · E_{n})

\underline{(20.13) SATZ:} Seien M ∈ M_{n}(K) und λ ∈ K. Dann gibt es Elemente a_{0}, a_{1}, …, a_{n} ∈ K mit

det(M − λ · E_{n}) = a_{0} + a_{1}λ + a_{2}λ^{2} + … + a_{n−1}λ^{n−1} + a_{n}λ^{n} = ∑_{i=0}^{n} a_{i}λ^{i} .

Dabei gilt insbesondere a_{0} = det(M) , a_{n−1} = (−1)^{n−1}Sp(M) und a_{n} = (−1)^{n}.

\underline{(20.14) BEISPIEL:} Sei M = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 2 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR) . Es sollen Eigenwerte und Eigen-

vektoren von M bestimmt werden. Nach (20.9) hat M höchstens 3 Eigenwerte. Zur Bestimmung der Eigenwerte werden nach (20.12b) diejenigen Elemente λ ∈ K bestimmt, für die det(M − λE_{3}) = 0 ist. Entwicklung nach der ersten Zeile (oder Spalte) liefert:

det(M − λE_{3}) = \begin{matrix}2 − λ & 0 & 0 \\ 0 & 1 − λ & 2 \\ 0 & 2 & 1 − λ \end{matrix} = (2 − λ) · \begin{matrix}1 − λ & 2 \\ 2 & 1 − λ \end{matrix} = (2 − λ) · ((1 − λ)^{2} − 4)

= (2 − λ) · (λ − 3) · (λ + 1) = \underline{−6 − λ + 4λ^{2} − λ^{3}}

Es gilt det(M) = −6 und Sp(M) = 4 in Übereinstimmung mit (20.13)! Um zugehörige Eigenvektoren zu bestimmen, ist für das jeweilige λ eine nichttriviale Lösung des homogenen LGS’s (M − λE_{3})x = o_{3} zu berechnen.

\underline{λ = 2 :} (M − λE_{3})x = ( \begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 2 \\ 0 & 2 & −1 \end{matrix} ) · x = o_{3} ⟹ Lös(M − λE_{3}, o_{3}) = IR · ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} )

Also ist v_{1} = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) ∈ IR^{3} EV von M zum EW 2 . Entsprechend kann man feststellen, daß

v_{2} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ) EV von M zum EW −1 und v_{3} = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) EV von M zum EW 3 ist. Damit

sind v_{1}, v_{2}, v_{3} als EV’en von M zu paarweise verschiedenen Eigenwerten nach (20.8) linear unabhängig und bilden daher auch eine Basis B von IR^{3} . Folglich

M_{B}^{B}(f_{M}) = diag(2, −1, 3) = ( \begin{matrix}2 & 0 & 0 \\ 0 & −1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix} )

Da M ebenfalls Darstellungsmatrix von f ist (und zwar bzgl. der kanonischen Basis), folgt mit (19.33) , daß M und M_{B}^{B}(f_{M}) ähnliche Matrizen sind. Also ist M ähnlich zu der Diagonalmatrix diag(2, −1, 3) , bei der die Eigenwerte von f_{M} (oder auch M) in der Hauptdiagonale stehen .

\underline{(20.15) DEF:} Ist M ∈ M_{n}(K), so heißt

p_{M} := det(M − T · E_{n})

das charakteristische Polynom der Matrix M.

\underline{(20.16) FOLG:} Seien M ∈ M_{n}(K) und λ ∈ K. Dann sind äquivalent:

a) λ ist Eigenwert von M

b) λ ist Nullstelle des charakteristischen Polynoms von M .

\underline{Beispiel:} In (20.14) ist p_{M} = −6 − T + 4T^{2} − T^{3} das charakteristische Polynom der Matrix M . p_{M} besitzt die Linearfaktorzerlegung p_{M} = (2 − T) · (T − 3) · (T + 1) , aus der man sofort die Nullstellen 2, 3, −1 ablesen kann. Dies sind die Eigenwerte von M .

\underline{(20.17) LEMMA:} Sind die Matrizen M, N ∈ M_{n}(K) ähnlich, so gilt:

a) p_{M} = p_{N}

b) M und N haben dieselben Eigenwerte.

\underline{(20.18) DEF:} V sei ein endlichdimensionaler K–Vektorraum, B sei eine beliebige Basis von V und f ∈ End_{K}(V). Dann ist das charakteristische Polynom p_{f} des Endomorphismus f definiert als das charakteristische Polynom der Darstellungsmatrix M_{B}^{B}(f).

\underline{BEM:} Da zwei Darstellungsmatrizen eines Endomorphismus ähnlich sind, folgt mit (20.14) , daß p_{f} unabhängig von der ausgewählten Basis ist.