Die Determinante einer Matrix

Wir betrachten im folgenden Determinantenformen auf dem Vektorraum V = K^{n}. Eine solche Form ist eine Abbildung von n Spaltenvektoren der Länge n, die wir als die Spalten einer (n × n)–Matrix auffassen können. Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) eine beliebige quadratische Matrix. Wir werden die Determinante det(A) von A rekursiv definieren, wie es die Überlegungen im Falle n = 3 zu Beginn dieses Paragraphen nahelegen.

Ist A ∈ M_{n}(K), so bezeichnen wir mit A′_{ik} diejenige (n−1)–reihige quadratische Matrix, die aus A durch Streichen der i-ten Zeile und der k–ten Spalte entsteht. Sei jetzt A = (a_{ik}) ∈ M_{3}(K). Dann gilt

det(A) = \begin{matrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{matrix} = a_{11} · \begin{matrix}a_{22} & a_{23} \\ a_{32} & a_{33} \end{matrix} − a_{12} · \begin{matrix}a_{21} & a_{23} \\ a_{31} & a_{33} \end{matrix} + a_{13} · \begin{matrix}a_{21} & a_{22} \\ a_{31} & a_{32} \end{matrix} =

a_{11} det(A′_{11}) − a_{12} det(A′_{12}) + a_{13} det(A′_{13}) = ∑_{k=1}^{3}(−1)^{1+k}a_{1k} · det(A′_{1k})

Wir definieren nun allgemein:

\underline{(19.12) DEF:} Sei K ein Körper und n ∈ IN. Die Determinante einer (n × n)–Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) ist rekursiv definiert durch

\underline{n = 1} det(A) := a_{11} für A = (a_{11}) ∈ M_{1}(K)

\underline{n > 1:} det(A) := ∑_{k=1}^{n}(−1)^{1+k}a_{1k} · det(A′_{1k}) (Hierbei ist A′_{1k} ∈ M_{n−1}(K))

Dies ist die sog. Entwicklung von det(A) nach der 1. Zeile von A.

Wir wollen uns davon überzeugen, daß sich im Falle n = 2 die bekannte Determinante ergibt:

\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix} = (−1)^{1+1}a_{11} det(A′_{11}) + (−1)^{1+2}a_{12} det(A′_{12}) = a_{11} det((a_{22})) − a_{12} det((a_{21}))

= \underline{\underline{a_{11}a_{22} − a_{12}a_{21}}}

\underline{(19.13) SATZ:} Sei V := K^{n}. Die Abbildung d : V^{n} ⟶ K sei für (v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) ∈ V^{n} definiert durch

d(v_{1}, v_{2}, …, v_{n}) := det(A) ∈ K ,

wobei A ∈ M_{n}(K) die Matrix mit den Spalten v_{1}, v_{2}, …, v_{n} ist. Dann gilt:

a) d ist eine Determinantenform auf V

b) d(e_{1}, e_{2}, …, e_{n}) = 1_{K} , wobei {e_{1}, e_{2}, …, e_{n}} die kanonische Basis von V = K^{n} ist.

\underline{Bew:} Es ist zu zeigen, daß d n–linear und alternierend ist. d ≠ o folgt insbesondere aus b).

Wir wollen jetzt die Eigenschaften einer Determinantenform auf V = K^{n} in der Sprache von Matrizen auflisten:

\underline{(19.14) BEM:} Es sei det : M_{n}(K) ⟶ K die Abbildung, die einer Matrix A ∈ M_{n}(K) die in (19.12) definierte Determinante det(A) zuordnet. Dafür gilt:

a) det(A) is K–linear in jeder Spalte von A.

b) Es ist det(A) = 0_{K}, falls zwei Spalten von A gleich sind.

c) det(E_{n}) = 1_{K} Diese drei Eigenschaften ergeben sich aus (19.13).

d) det ist die einzige Abbildung M_{n}(K) ⟶ K , die die drei Eigenschaften a),b) und c) erfüllt (19.9).

e) det(A) ändert das Vorzeichen, wenn zwei Spalten von A vertauscht werden (19.3b).

f) det(A) ändert sich nicht, wenn man zu einer Spalte von A ein skalares Vielfaches einer anderen Spalte von A addiert (19.3a).

g) Es ist det(A) = 0_{K}, wenn die Spalten von A linear abhängig sind (19.3c).

h) Es ist det(A) = 0_{K}, wenn eine Spalte von A die Nullspalte ist (folgt auch aus g) ).

\underline{(19.15) SATZ:} Für eine Matrix A ∈ M_{n}(K) gilt: A invertierbar ⟺ det(A) ≠ 0_{K}

(19.16) SATZ:

Laplace’scher Entwicklungssatz (Entwicklung nach einer Zeile)

Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) (n ≥ 2). Es bezeichne A′_{ik} ∈ M_{n−1}(K) diejenige Matrix, die aus A durch Streichen der i–ten Zeile und der k–ten Spalte entsteht. Dann gilt für jedes i ∈ {1, 2, …, n}:

det(A) = ∑_{k=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ik} · det(A′_{ik})

(Man bezeichnet dies als Entwicklung von det(A) nach der i–ten Zeile.)

\underline{Bew:} Für ein beliebiges i ∈ \{1, 2, …, n\} sei d_{i} : M_{n}(K) ⟶ K die Abbildung, die durch

d_{i}(A) := ∑_{k=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ik} · det(A′_{ik})

definiert ist. Man kann zeigen:

a) d_{i}(A) ist K–linear in den Spalten von A.

b) d_{i}(A) = 0_{K}, falls zwei Spalten gleich sind.

c) d_{i}(E_{n}) = 1_{K}. Nach (19.14d) folgt d_{i}(A) = det(A) für alle A ∈ M_{n}(K).

(19.17) SATZ:

Determinantenproduktsatz

Für Matrizen A, B ∈ M_{n}(K) gilt: det(A · B) = det(A) · det(B).

\underline{(19.18) FOLG:} Für A ∈ GL_{n}(K) gilt: det(A^{−1}) = det(A)^{−1}

\underline{(19.19) LEMMA:} Ist G ∈ M_{n}(K) eine Elementarmatrix, so gilt: det(^{t}G) = det(G).

\underline{(19.20) SATZ:} Für A ∈ M_{n}(K) gilt: det(^{t}A) = det(A).

\underline{Bew:} S. Übung

\underline{(19.21) BEM:} Da die Zeilen von A ∈ M_{n}(K) gerade die Spalten von ^{t}A sind, folgt aus (19.20), daß det(A) auch die in (19.14) aufgelisteten Eigenschaften in Bezug auf die Zeilen hat, d.h. im Einzelnen:

a) det(A) is K–linear in jeder Zeile von A.

b) Es ist det(A) = 0_{K}, falls zwei Zeilen von A gleich sind.

c) det(E_{n}) = 1_{K}

d) det ist die einzige Abbildung M_{n}(K) ⟶ K , die die drei Eigenschaften a),b) und c) erfüllt.

e) det(A) ändert das Vorzeichen, wenn zwei Zeilen von A vertauscht werden.

f) det(A) ändert sich nicht, wenn man zu einer Zeile von A ein skalares Vielfaches einer anderen Zeile von A addiert.

g) Es ist det(A) ≠ 0_{K} genau dann, wenn die Zeilen von A linear unabhängig sind.

(19.22) SATZ:

Laplace’scher Entwicklungssatz (Entwicklung nach einer Spalte )

Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) (n ≥ 2). Es bezeichne A′_{ik} ∈ M_{n−1}(K) diejenige Matrix, die aus A durch Streichen der i–ten Zeile und der k–ten Spalte entsteht. Dann gilt für jedes k ∈ {1, 2, …, n}:

det(A) = ∑_{i=1}^{n}(−1)^{i+k}a_{ik} · det(A′_{ik})

(Man bezeichnet dies als Entwicklung von det(A) nach der k–ten Spalte.)

Das folgende Ergebnis gibt eine explizite Formel für die Determinante einer Matrix:

(19.23) SATZ:

Leibniz’sche Determinantenformel

Für eine Matrix A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) gilt:

det(A) = ∑_{π∈S_{n}} sign(π) · a_{π(1),1} · a_{π(2),2} · . . . · a_{π(n),n}

Hierbei bezeichnet sign(π) das Vorzeichen der Permutation π ∈ S_{n}. Dieses ist definiert durch sign(π) := (−1)^{ν(π)} , wobei ν(π) die Anzahl der Inversionen (Fehlstände) von π angibt.

I) Die adjungierte Matrix

\underline{(19.24) DEF:} Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) (n ≥ 2). Dann heißt die Matrix A^{ad} := (α_{ik}) ∈ M_{n}(K) mit

α_{ik} := (−1)^{i+k} det(A′_{ki})

die zu A adjungierte Matrix.

\underline{(19.25) SATZ:} Für A ∈ M_{n}(K) gilt A · A^{ad} = A^{ad} · A = det(A) · E_{n} .

\underline{(19.26) FOLG:} Ist die Matrix A ∈ M_{n}(K) invertierbar, so gilt

A^{−1} = (det(A))^{−1} · A^{ad}

II) Die Cramer’sche Regel

\underline{(19.27) SATZ:} Sei A ∈ GL_{n}(K) eine invertierbare Matrix mit den Spalten s_{1}, s_{2}, …, s_{n},

und es sei b ∈ K^{n}. Dann ist die eindeutig bestimmte Lösung ( a_{1} ; ⋮ ; a_{n} ) ∈ K^{n} des LGS’s Ax = b

gegeben durch

a_{i} = (det(A))^{−1} · det(s_{1}, …, s_{i−1}, b, s_{i+1}, …, s_{n}) (i = 1, 2, …, n)

III) Rangbestimmung einer Matrix mit Hilfe von Determinanten

Sei A ∈ M_{m,n}(K) und es seien s, t ∈ IN mit 1 ≤ s, t ≤ min(m, n). Eine (s×t)–Untermatrix von A ist eine (s×t)–Matrix, die aus A durch Streichen von m−s Zeilen und n−t Spalten entsteht. Die Determinante einer (s × s)–Untermatrix heißt eine s–reihige Unterdeterminante von A.

\underline{(19.28) SATZ:} Eine Matrix A ∈ M_{m,n}(K) hat genau dann den Rang r ≥ 1, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind:

i) A besitzt eine r–reihige Unterdeterminante ≠ 0_{K}

ii) Jede (r + 1)–reihige Unterdeterminante von A ist gleich 0_{K} .

IV) Die Vandermonde’sche Determinante

\underline{(19.29) DEF:} Seien a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K (n ≥ 2) Elemente aus dem Körper K. Dann heißt die Matrix

V_{n}(a_{1}, a_{2}, …, a_{n}) := ( \begin{matrix}1 & a_{1} & a_{1}^{2} & … & a_{1}^{n−1} \\ 1 & a_{2} & a_{2}^{2} & … & a_{2}^{n−1} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & … & ⋮ \\ 1 & a_{n} & a_{n}^{2} & … & a_{n}^{n−1} \end{matrix} ) ∈ M_{n}(K)

n– reihige Vandermonde’sche Matrix. Ihre Determinante heißt Vandermonde’sche Determinante.

\underline{(19.30) SATZ:} Für a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K (n ≥ 2) gilt

det (V_{n}(a_{1}, a_{2}, …, a_{n})) = ∏_{1≤i<k≤n} (a_{k} − a_{i}) .

\underline{(19.31) FOLG:} Für a_{1}, a_{2}, …, a_{n} ∈ K (n ≥ 2) gilt:

det(V_{n}(a_{1}, a_{2}, …, a_{n})) ≠ 0_{K} ⟺ die Elemente a_{1}, a_{2}, …, a_{n} sind paarweise verschieden.