Wir wollen jetzt den Zusammenhang zwischen dem Rang einer Matrix und dem Rang einer linearen Abbildung genauer untersuchen. Für eine beliebige Matrix A ∈ M_{m,n}(K) bezeichnen wir die Spalten mit

s_{1}(A), s_{2}(A), …, s_{n}(A) ∈ K^{m} = M_{m,1}(K)

und die Zeilen mit

z_{1}(A), z_{2}(A), …, z_{m}(A) ∈ M_{1,n}(K)

Ferner sei S(A) := L_{K}({s_{1}(A), s_{2}(A), …, s_{n}(A)}) ⊆ K^{m} der Spaltenraum von A und

Z(A) := L_{K}({z_{1}(A), z_{2}(A), …, z_{n}(A)}) ⊆ M_{1,n}(K) der Zeilenraum von A.

\underline{(18.14) DEF:} Sei A ∈ M_{m,n}(K) eine Matrix. Dann heißt

a) rg_{s}(A) := dim_{K}(S(A)) der Spaltenrang von A

b) rg_{z}(A) := dim_{K}(Z(A)) der Zeilenrang von A.

\underline{(18.15) BEM:} Für A ∈ M_{m,n}(K) gilt

a) 0 ≤ rg_{s}(A) ≤ min(m, n)

b) 0 ≤ rg_{z}(A) ≤ min(m, n) .

\underline{(18.16) LEMMA:} Für eine K–lineare Abbildung f : K^{n} ⟶ K^{m} gilt rg_{K}(f) = rg_{s}(M(f)) .

\underline{(18.17) LEMMA:} Für eine Treppenmatrix T ∈ M_{m,n}(K) gilt:

rg_{s}(T) = rg_{z}(T) = rg(T)

\underline{(18.18) LEMMA:} Sei A ∈ M_{m,n}(K). Sind P ∈ GL_{m}(K) und Q ∈ GL_{n}(K) invertierbare Matrizen, so gilt für den Spaltenrang

rg_{s}(P AQ) = rg_{s}(A)

Im folgenden benötigen wir eine Beschreibung von elementaren Zeilenumformungen, die zur Berechnung der Treppenform einer Matrix erforderlich waren, mit Hilfe von Elementarmatrizen. Es wird sich herausstellen, daß jede elementare Zeilenumformung einer Matrix A ∈ M_{m,n}(K) durch Linksmultiplikation mit einer (invertierbaren) Elementarmatrix bewirkt werden kann.

Einschub A) Elementarmatrizen \underline{(18.19) LEMMA:} Sei A ∈ M_{m,n}(K). Ist P ∈ GL_{m}(K) eine invertierbare Matrix, so gilt für den Zeilenrang

rg_{z}(P A) = rg_{z}(A)

\underline{(18.20) SATZ:} Für eine beliebige Matrix A ∈ M_{m,n}(K) gilt

rg_{s}(A) = rg_{z}(A) = rg(A)

\underline{(18.21) SATZ:} Sei A ∈ M_{m,n}(K) eine Matrix vom Rang r. Dann gibt es invertierbare Matrizen P ∈ GL_{m}(K) und Q ∈ GL_{n}(K) mit

P · A · Q = ( \begin{matrix}E_{r} & O \\ O & O \end{matrix} )

(Hierbei ist E_{r} die r–reihige Einheitsmatrix, und O bezeichnet eine passende Nullmatrix).

\underline{(18.22) FOLG:} Für Matrizen A, B ∈ M_{m,n}(K) sind folgende Aussagen äquivalent:

a) rg(A) = rg(B)

b) Es gibt invertierbare Matrizen P ∈ GL_{m}(K) und Q ∈ GL_{n}(K) mit B = P · A · Q.