§18. Die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung

Die Abbildung f : IR^{4} ⟶ IR^{3} sei definiert durch ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} ) ⟼ ( \begin{matrix}a_{1} + a_{2} \\ 2a_{2} − 2a_{4} \\ a_{3} − a_{4} \end{matrix} ) . Man prüft

leicht nach, daß f IR–linear ist. Es sei {e_{1}, e_{2}, e_{3}, e_{4}} die kanonische Basis von IR^{4}. Jeder Vektor

v = ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} ) ∈ IR^{4} läßt sich dann darstellen in der Form v = a_{1}e_{1} + a_{2}e_{2} + a_{3}e_{3} + a_{4}e_{4}. Da

f IR–linear ist, folgt hieraus

(∗) f(v) = a_{1}f(e_{1}) + a_{2}f(e_{2}) + a_{3}f(e_{3}) + a_{4}f(e_{4})

d.h. f(v) ist eine Linearkombination der Vektoren f(e_{1}), …, f(e_{4}). Es gilt speziell

f(e_{1}) = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , f(e_{2}) = ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) , f(e_{3}) = ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) , f(e_{4}) = ( \begin{matrix}0 \\ −3 \\ −1 \end{matrix} )

Wir bilden nun die (3 × 4)–Matrix A, deren Spalten gerade diese Vektoren sind:

A = ( f(e_{1}) f(e_{2}) f(e_{3}) f(e_{4}) ) = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} )

Es gilt für alle v ∈ IR^{4}

A · v = ( \begin{matrix}1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & −3 \\ 0 & 0 & 1 & −1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \\ a_{4} \end{matrix} ) =^{(∗∗)} a_{1} ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + a_{2} ( \begin{matrix}1 \\ 2 \\ 0 \end{matrix} ) + a_{3} ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) + a_{4} ( \begin{matrix}0 \\ −3 \\ −1 \end{matrix} )

= a_{1}f(e_{1}) + a_{2}f(e_{2}) + a_{3}f(e_{3}) + a_{4}f(e_{4}) =^{(∗)} f(v)

Hierbei gilt (∗∗) nach dem Beweis von (10.9) aus LA I . Wir werden später sehen, daß diese Matrix wichtige Informationen über die lineare Abbildung f enthält. Wir nennen A die Darstellungsmatrix von f. Allgemeiner:

\underline{(18.1) DEF:} Sei f : K^{n} ⟶ K^{m} eine K–lineare Abbildung. \{e_{1}, e_{2}, …, e_{n}\} sei die kanonische Basis von K^{n}. Dann heißt die (m × n)–Matrix, die aus den n Spaltenvektoren f(e_{1}), f(e_{2}), …, f(e_{n}) ∈ K^{m} gebildet wird, die Darstellungsmatrix von f. Sie wird mit M(f) bezeichnet.

Es ist also M(f) = ( f(e_{1}) f(e_{2}) … f(e_{n}) ) ∈ M_{m,n}(K)

\underline{(18.2) LEMMA:} Ist f : K^{n} ⟶ K^{m} eine K–lineare Abbildung, so gilt f(v) = M(f) · v für alle v ∈ K^{n}, d.h. f = f_{M(f)} .

\underline{(18.3) LEMMA:} a) Sind f, g : K^{n} ⟶ K^{m} K–lineare Abbildungen, so gilt: M(f) = M(g) ⟹ f = g

b) Zu jeder Matrix A ∈ M_{m,n}(K) gibt es eine K–lineare Abbildung f : K^{n} ⟶ K^{m} mit M(f) = A.

\underline{(18.4) LEMMA:} Sind f, g : K^{n} ⟶ K^{m} K–lineare Abbildungen, so gilt:

a) M(f + g) = M(f) + M(g)

b) M(af) = aM(f) (∀ a ∈ K) .

\underline{(18.5) SATZ:} Die Abbildung φ : Hom_{K}(K^{n}, K^{m}) ⟶ M_{m,n}(K) , die durch

φ(f) := M(f) für alle f ∈ Hom_{K}(K^{n}, K^{m})

definiert wird, ist ein K–Isomorphismus. Insbesondere gilt dim_{K}(Hom_{K}(K^{n}, K^{m})) = m · n.

\underline{Problem:} f : K^{p} ⟶ K^{n} und g : K^{n} ⟶ K^{m} seien K–lineare Abbildungen. Nach (17.22) ist dann auch g ∘ f : K^{p} ⟶ K^{m} eine K–lineare Abbildung. Für jede einzelne Abbildung können wir die Darstellungsmatrix bilden. Seien

A := M(g) ∈ M_{m,n}(K) , B := M(f) ∈ M_{n,p}(K) , C := M(g ∘ f) ∈ M_{m,p}(K)

Gibt es einen Zusammenhang zwischen diesen drei Darstellungsmatrizen?

Setze h := g ∘ f . Für ein beliebiges v ∈ K^{p} gilt dann

C · v = h(v) = g(f(v)) = g(B · v) = A · (B · v)

(⋆) ∀ v ∈ K^{p} : A · (B · v) = C · v

Wir werden im folgenden eine Multiplikation von Matrizen erklären, die es uns erlaubt, die Matrix C als Produkt der beiden Matrizen A und B aufzufassen.

Seien A = (a_{ik}) \begin{matrix}i = 1, 2, …, m \\ k = 1, 2, …, n \end{matrix} , B = (b_{kl}) \begin{matrix}k = 1, 2, …, n \\ l = 1, 2, …, p \end{matrix} , C = (c_{il}) \begin{matrix}i = 1, 2, …, m \\ l = 1, 2, …, p \end{matrix}

Sei e_{l} ∈ K^{p} der l–te Einheitsvektor. Nach (⋆) gilt dann

(⋆⋆) A · (B · e_{l}) = C · e_{l} (∀ l = 1, 2, …, p)

Das Produkt einer Matrix D, die p Spalten hat, und dem Einheitsvektor e_{l} ergibt gerade den

l–ten Spaltenvektor von D. Mit B · e_{l} = ( b_{1l} ; ⋮ ; b_{nl} ) erhalten wir

A · (B · e_{l}) = ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1n} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{m1} & … & a_{mn} \end{matrix} ) · ( b_{1l} ; ⋮ ; b_{nl} ) = ( a_{11}b_{1l} + … + a_{1n}b_{nl} ; ⋮ ; a_{m1}b_{1l} + … + a_{mn}b_{nl} ) = ( ∑_{k=1}^{n} a_{1k}b_{kl} ; ⋮ ; ∑_{k=1}^{n} a_{mk}b_{kl} )

Auf der anderen Seite ist C · e_{l} = ( c_{1l} ; ⋮ ; c_{ml} ). Wegen (⋆⋆) folgt

c_{il} = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kl} ∀ i = 1, 2, …, m ∀ l = 1, 2, …, p

Wir definieren jetzt das Matrizenprodukt A · B als die Matrix C:

\underline{(18.6) DEF:} Das Produkt A · B einer (m × n)–Matrix A = (a_{ik}) und einer (n × p)–Matrix B = (b_{kl}) ist definiert als die (m × p)–Matrix C = (c_{il}) mit den Elementen

c_{il} = ∑_{k=1}^{n} a_{ik}b_{kl} ∀ i = 1, 2, …, m ∀ l = 1, 2, …, p

Achtung! Das Matrizenprodukt A · B ist nur definiert, wenn die Spaltenzahl von A mit der Zeilenzahl von B übereinstimmt.

Aus den obigen Überlegungen ergibt sich sofort das folgende Ergebnis:

\underline{(18.7) SATZ:} Für K–lineare Abbildungen f : K^{p} ⟶ K^{n} und g : K^{n} ⟶ K^{m} gilt

M(g ∘ f) = M(g) · M(f)

\underline{(18.8) FOLG:} Sind A, B, C drei Matrizen, für die sich das Matrizenprodukt (A·B)·C bilden läßt, so gilt

(A · B) · C = A · (B · C)

\underline{(18.9) FOLG:} (M_{n}(K), +, ·) ist ein Ring mit der Einheitsmatrix E_{n} als Einselement. Für n ≥ 2 ist dieser Ring nicht kommutativ und nicht nullteilerfrei. Eine Einheit in dem Ring (M_{n}(K), +, ·) heißt auch invertierbare Matrix . Man setzt M_{n}(K)^{⋆} =: GL_{n}(K) . (GL_{n}(K), ·) ist eine Gruppe, die sog. allgemeine lineare Gruppe .

\underline{(18.10) LEMMA:} f : K^{n} ⟶ K^{m} sei eine K–lineare Abbildung mit der Darstellungsmatrix A := M(f). Dann gilt:

a) f injektiv ⟺ die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig

b) f surjektiv ⟺ die Spaltenvektoren von A bilden ein EZS von K^{m}

c) f bijektiv ⟺ die Spaltenvektoren von A bilden eine Basis von K^{m}.

\underline{(18.11) SATZ:} Eine K–lineare Abbildung f : K^{n} ⟶ K^{n} ist genau dann ein K–Isomorphismus, wenn die Darstellungsmatrix M(f) ∈ M_{n}(K) invertierbar ist. In diesem Falle gilt dann

M(f)^{−1} = M(f^{−1})

\underline{(18.12) FOLG:} Für eine Matrix A ∈ M_{n}(K) sind folgende Aussagen äquivalent:

a) A ist invertierbar

b) Die Spaltenvektoren von A bilden eine Basis von K^{n}

c) Die Spaltenvektoren von A bilden ein EZS von K^{n}

d) Die Spaltenvektoren von A sind linear unabhängig .

\underline{(18.13) FOLG:} Für eine Matrix A ∈ M_{n}(K) sind folgende Aussagen äquivalent:

a) A ist invertierbar, d.h. es existiert eine Matrix B ∈ M_{n}(K) mit A · B = E_{n} = B · A

b) Es gibt eine Matrix C ∈ M_{n}(K) mit C · A = E_{n}

c) Es gibt eine Matrix D ∈ M_{n}(K) mit A · D = E_{n}.