Chr.Nelius: Lineare Algebra II (SS2005) 6

\underline{D) Körper}

\underline{\underline{(15.30) DEF:}} Ein Ring (K, +, ·) heißt ein \underline{Schiefkörper}, wenn gilt:

1) 1_{K} ≠ 0_{K} 2) K^{⋆} = K \ {0_{K}}

Ist darüberhinaus die Multiplikation kommutativ, so heißt (K, +, ·) ein \underline{Körper}.

Bem.: Ist K ein Schiefkörper, so ist (K \ {0_{K}}, ·) eine Gruppe.

\underline{\underline{(15.31) BEM:}} a) ℚ und ℝ sind Körper .

b) ℤ_{2}, ℤ_{3}, ℤ_{5}, ℤ_{7} sind (endliche) Körper .

c) Jeder Unterring eines Schiefkörpers ist nullteilerfrei. Insbesondere ist jeder Schiefkörper nullteilerfrei.

d) Beispiele für nichtkommutative Schiefkörper treten erst später auf.

\underline{\underline{(15.32) SATZ:}} Für n ∈ IN, n ≥ 1, sind folgende Aussagen äquivalent:

a) Der Ring (ℤ_{n}, ⊕, ⊙) ist ein Körper

b) Der Ring (ℤ_{n}, ⊕, ⊙) ist ein IB

c) n ist eine Primzahl .

\underline{\underline{(15.33) DEF:}} Sei K ein Schiefkörper. Eine Unterring U ⊆ K heißt ein \underline{Unterkörper} von K, wenn gilt: ∀ x ∈ U \ {0_{K}} : x^{−1} ∈ U

\underline{\underline{BEM:}} Ein Unterkörper U ⊆ K ist für sich betrachtet wieder ein Schiefkörper. Seine Verknüpfungen sind die Einschränkungen der Verknüpfungen von K auf U.

\underline{\underline{Beispiele:}} Q ist ein Unterkörper von IR , \{a + b\sqrt{2} | a, b ∈ Q\} ist ein Unterkörper von IR .

\underline{\underline{BEM:}} Aus jeder positiven reellen Zahl a läßt sich immer die n–te Wurzel ziehen (n ∈ IN, n ≥ 2), d.h. die Gleichung x^{n} = a ist in ℝ lösbar. Anders sieht es dagegen bei negativen Zahlen aus. Ist a ∈ ℝ eine negative reelle Zahl (a < 0), so besitzt die Gleichung x^{2} = a keine Lösung in ℝ, d.h. es gibt keine Quadratwurzel aus einer negativen reellen Zahl. Insbesondere ist die Gleichung x^{2} = −1 in ℝ nicht lösbar. Wir werden im folgenden ℝ zu dem Bereich der komplexen Zahlen erweitern, in dem all diese Gleichungen Lösungen besitzen.

\underline{\underline{(15.34) SATZ:}} Die Menge ℝ × ℝ = \{ (a, b) | a, b ∈ ℝ \} ist bzgl. der Rechenoperationen

(a, b) ⊕ (a′, b′) := (a + a′, b + b′) (Addition)
(a, b) ⊙ (a′, b′) := (aa′ − bb′, ab′ + a′b) (Multiplikation)

ein Körper. Dieser Körper heißt Körper der komplexen Zahlen und wird mit ℂ bezeichnet. Bei Identifizierung der Zahlen (a, 0) ∈ ℂ mit a ∈ ℝ wird ℝ zu einer Teilmenge und damit zu einem Unterkörper von ℂ.

\underline{Bew:} ⊕ ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung auf ℂ 0_{ℂ} := (0, 0) ∈ ℂ ist das neutrale Element bzgl. ⊕ (−a, −b) ∈ ℂ ist das Inverse von (a, b) ∈ ℂ bzgl. ⊕ ⊙ ist eine assoziative und kommutative Verknüpfung auf ℂ 1_{ℂ} := (1, 0) ∈ ℂ ist das neutrale Element bzgl. ⊙ Sei (a, b) ∈ ℝ × ℝ beliebig mit (a, b) ≠ (0, 0) (⟺ a^{2} + b^{2} ≠ 0) . Dann gilt

(a, b) ⊙ (\frac{a}{a^{2} + b^{2}} , \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} ) = ( a · \frac{a}{a^{2} + b^{2}} − b · \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} , a · \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} + b · \frac{a}{a^{2} + b^{2}} ) =

(\frac{a^{2} + b^{2}}{a^{2} + b^{2}} , 0) = (1, 0) = 1_{ℂ} .

Damit ist jedes Element ≠ 0_{ℂ} invertierbar bzgl. ⊙. Da außerdem das Distributivgesetz gilt, ist (C, ⊕, ⊙) ein Körper. Mit den Zahlen der Form (a, 0) kann man so rechnen wie mit den reellen Zahlen a:

(a, 0) ⊕ (b, 0) = (a + b, 0) , (a, 0) ⊙ (b, 0) = (a · b, 0)

Dies rechtfertigt eine Identifizierung von ℝ als Teilmenge von ℂ:

ℝ ⟷ { (a, 0) | a ∈ ℝ } ⊆ ℂ

In C gibt es das Element i := (0, 1) . Dieses Element heißt imaginäre Einheit. Hierfür gilt i^{2} = (0, 1)^{2} = (0, 1) ⊙ (0, 1) = (−1, 0) .

Für ein beliebiges (a, b) ∈ C folgt dann wegen (b, 0) ⊙ (0, 1) = (0, b)

(⋆) (a, b) = (a, 0) ⊕ (0, b) = (a, 0) ⊕ [(b, 0) ⊙ (0, 1)]

Mit der verabredeten neuen Bezeichnungsweise vereinfacht sich (⋆) zu (a, b) = (a, 0) ⊕ [(b, 0) ⊙ (0, 1)] = a + b i .

Insbesondere ist i^{2} = (−1, 0) , also  i^{2} = −1 .

Zusammenfassend erhalten wir das folgende Ergebnis:

\underline{\underline{(15.35) SATZ:}} Jede komplexe Zahl z ∈ ℂ läßt sich in der Form z = a + bi mit eindeutig bestimmten reellen Zahlen a, b ∈ ℝ darstellen. Diese Form heißt arithmetische Darstellung von z. Dabei ist i ∈ ℂ eine komplexe Zahl mit i^{2} = −1 .

Die Rechenoperationen für komplexe Zahlen in arithmetischer Darstellung lassen sich nun folgendermaßen schreiben: (a + bi) + (a′ + b′i) = (a + a′) + (b + b′) i (a + bi) · (a′ + b′i) = (aa′ − bb′) + (ab′ + ba′) i

Im Falle z = a + bi ≠ 0 gilt z^{−1} = \frac{a}{a^{2} + b^{2}} + \frac{−b}{a^{2} + b^{2}} i .

Beispiele: (2 + 3i) + (1 − i) = 3 + 2i , (2 + 3i)(1 − i) = 5 + i , \frac{1}{1 + i} = \frac{1}{2} − \frac{1}{2}i

Ursprünglich hatten wir die komplexen Zahlen als Elemente aus ℝ×ℝ definiert, geometrisch gesehen also als Punkte der Ebene, die man daher auch die Gauß’sche Zahlenebene nennt.

[figure: z = (a, b); \overline{z} = (a, −b); i; y; x; (0, 0); b; a; −b; r]

Man nennt die x–Achse auch die reelle Achse und die y-Achse die imaginäre Achse. Ist z = a + bi , so gibt r = \sqrt{a^{2} + b^{2}} den Abstand des Punktes z vom Nullpunkt an (Satz von Pythagoras). r heißt der Betrag der komplexen Zahl z. Die Zahl \overline{z} = a − bi entsteht aus z durch Spiegelung an der reellen Achse. Man nennt \overline{z} die zu z konjugiert komplexe Zahl.

\underline{\underline{(15.36) DEF:}} z = a + bi (a, b ∈ ℝ) sei eine komplexe Zahl in arithmetischer Darstellung.

a) a =: Re(z) heißt der Realteil von z und b =: Im(z) der Imaginärteil von z .

b) | z |:= \sqrt{a^{2} + b^{2}} heißt der Betrag von z .

c) \overline{z} := a − bi heißt die zu z konjugiert komplexe Zahl.

Beispiele: z = 3 + 4i : \overline{z} = 3 − 4i , Re(z) = 3 = Re(\overline{z}) , Im(z) = 4 , Im(\overline{z}) = −4 ,

| z |= \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = 5

\underline{\underline{BEM:}} a) Real– und Imaginärteil einer komplexen Zahl sind immer reelle Zahlen.

Für alle a, b ∈ ℝ gilt a^{2} + b^{2} ≥ 0 , so daß stets eine Quadratwurzel aus a^{2} + b^{2} existiert. Bei der Definition des Betrages setzen wir verabredungsgemäß voraus, daß wir die positive Quadratwurzel meinen, so daß der Betrag eindeutig definiert ist.

b) Für w, z ∈ ℂ gilt: w = z ⟺ Re(w) = Re(z) und Im(w) = Im(z)

\underline{\underline{(15.37) SATZ:}} Für komplexe Zahlen w, z ∈ ℂ gilt:

a) \overline{(\overline{z})} = z  b) \overline{w + z} = \overline{w} + \overline{z}  c) \overline{w · z} = \overline{w} · \overline{z}  d) z = \overline{z} ⟺ z ∈ ℝ.

\underline{Bew:} a) Klar

b) Seien w = a + bi , z = c + di mit a, b, c, d ∈ ℝ . Dann hat w + z die arithmetische Darstellung w + z = (a + c) + (b + d)i , da a + c, b + d ∈ IR. Also \overline{w + z} = (a + c) − (b + d)i. Damit folgt \overline{w} + \overline{z} = (a − bi) + (c − di) = (a + c) − (b + d)i = \overline{w + z}.

c) Analog zu b).

\underline{\underline{(15.38) BEM:}} Polarkoordinatendarstellung

[figure: z = (a, b); i; y; x; (0, 0); b; a; φ; r]

Eine komplexe Zahl z = a+ib ≠ 0 ist eindeutig durch den Betrag r (Abstand von z zum Nullpunkt) und das Argument φ (Winkel zwischen der positiven x–Achse und dem Vektor von 0 nach z im mathematisch positiven Sinn) bestimmt. Es gilt

cos(φ) = \frac{a}{r} , sin(φ) = \frac{b}{r}

z = a + ib
= r cos(φ) + i r sin(φ)
= r(cos(φ) + i sin(φ))
= r e^{iφ}

Dies ist die sog. Polarkoordinatendarstellung der komplexen Zahl z. Diese eignet sich besonders gut für die Multiplikation, das Potenzieren und das Wurzelziehen. z = re^{iφ} , w = se^{iψ} ⟹

zw = (rs)e^{iφ}e^{iψ} = (rs)e^{i(φ+ψ)}

Es werden also die Beträge multipliziert und die Argumente addiert. Formel von Moivre:

z = r e^{iφ} ⟹ z^{n} = r^{n} e^{i nφ}

Daraus ergibt sich für w ∈ ℂ , z = r e^{iφ} ≠ 0: w^{n} = z (d.h. w ist eine n–te Wurzel aus z) ⟺ ∃ k ∈ {0, 1, 2, …, n − 1} mit

w = ^{n} \sqrt{r} · e i \frac{φ+2kπ}{n}