Einschub D : Polynome

Ein “formaler Ausdruck” der Form

p = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} = a_{0} + a_{1}T + a_{2}T^{2} + … + a_{n−1}T^{n−1} + a_{n}T^{n},

wobei T eine “Unbestimmte” und die Koeffizienten a_{i} Elemente aus einem Körper K sind, heißt ein Polynom in der Unbestimmten T über K. Mit der Unbestimmten T kann man fast genauso rechnen wie mit Elementen aus K, allerdings darf T nicht invertiert werden. Zwei solche Polynome sind gleich, wenn Sie bei entsprechenden T –Potenzen dieselben Koeffizienten haben (man darf einen Koeffizientenvergleich vornehmen!). Polynome lassen sich addieren (koeffizientenweise) und multiplizieren (Cauchy–Produkt, ganz “normales” Ausmultiplizieren unter Berücksichtigung des Distributiv–Gesetzes).

Sind p = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} und q = ∑_{j=0}^{m} b_{j}T^{j} zwei Polynome über K, so definiert man

p + q := ∑_{k=0}^{r}(a_{k} + b_{k})T^{k} mit r = max(m, n)

p · q := ∑_{k=0}^{m+n} c_{k}T^{k} mit c_{k} = ∑_{i+j=k} a_{i}b_{j} (k = 0, 1, …, m + n)

Bezüglich dieser Rechenoperationen bildet die Menge K[T] aller Polynome in einer Unbestimmten über dem Körper K einen kommutativen Ring. Auf K[T] läßt sich eine Skalar-

multiplikation mit Elementen aus K definieren (ap := ∑_{i=0}^{n}(aa_{i})T^{i} ∀ a ∈ K, ∀ p ∈ K[T]), so daß

K[T] auch zu einem K–Vektorraum wird. Dieser Vektorraum ist unendlichdimensional, die Menge {1_{K}, T, T^{2}, T^{3}, …} der Potenzen von T (es ist T^{0} := 1_{K}) bildet eine K–Basis von K[T].

Ist in einem Polynom p = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} der Koeffizient a_{n} ≠ 0_{K}, so heißt dieser der Leitkoeffizient

von p, und p hat dann den Grad n (in Zeichen: grad(p) = n). Dem Nullpolynom, bei dem alle Koeffizienten Null sind, wird kein Grad zugewiesen. Ein Polynom, dessen Leitkoeffizient gleich 1_{K} ist, heißt normiert, Polynome vom Grade 0 heißen konstante Polynome, Polynome vom Grade 1 lineare Polynome, Polynome vom Grade 2 quadratische Polynome.

Für Polynome p, q ∈ K[T] \ {0} gilt

grad(p + q) ≤ max(grad(p), grad(q)) (falls p + q ≠ 0) und grad(p · q) = grad(p) + grad(q)

In ein Polynom p = ∑_{i=0}^{n} a_{i}T^{i} kann man Elemente aus einem K umfassenden Ring L einsetzen:

Für α ∈ L ist p(α) := ∑_{i=0}^{n} a_{i}α^{i} ∈ L der Wert von p an der Stelle α. Insbesondere heißt

α eine Nullstelle von p, wenn p(α) = 0 gilt. Das Einsetzen in eine Summe geschieht summandenweise und das Einsetzen in ein Produkt faktorenweise, d.h.

Chr.Nelius , Lineare Algebra II (SS 2005) 2

(p + q)(α) = p(α) + q(α) , (p · q)(α) = p(α) · q(α)

In dem Polynomring K[T] über einem Körper K läßt sich (entsprechend wie in ZZ) Division mit Rest ausführen, genauer: \underline{(D.1) SATZ:} Zu zwei Polynomen p, q ∈ K[T] mit q ≠ 0 existieren eindeutig bestimmte Polynome r, s ∈ K[T] mit p = sq + r , wobei entweder r = 0 ist oder grad(r) < grad(q) gilt. \underline{(D.2) FOLG:} Der Polynomring in einer Unbestimmten über einem Körper K ist ein HIB. \underline{(D.3) LEMMA:} Seien p ∈ K[T] und α ∈ K. Dann sind äquivalent:

a) α ist eine Nullstelle von p .

b) Es existiert ein Polynom q ∈ K[T] mit p = (T − α) · q .

(Man sagt hier: “Eine Nullstelle spaltet einen Linearfaktor von p ab”) \underline{(D.4) DEF:} Sei p ∈ K[T] . Ein Element α ∈ K heißt eine k–fache Nullstelle von p, wenn es ein Polynom q ∈ K[T] gibt mit

p = (T − α)^{k} · q und q(α) ≠ 0 .

Die Zahl k heißt dann die Vielfachheit der Nullstelle α. Bezeichnung: k =: μ(p, α). \underline{(D.5) SATZ:} Ein Poynom p ∈ K[T] vom Grade n ≥ 0 hat höchstens n Nullstellen in K. (D.6) SATZ:

Fundamentalsatz der Algebra (Gauß , 1799)

Sei C der Körper der komplexen Zahlen. Dann gilt:

a) Ein Polynom p ∈ C[T] vom Grade ≥ 1 hat mindestens eine Nullstelle in C .

b) Ist n = grad(p) ≥ 1 und sind α_{1}, …, α_{r} ∈ C (r ≤ n) die paarweise verschiedenen Nullstellen von p, so gilt:

(∗) p = a · (T − α_{1})^{μ(p,α_{1})} · (T − α_{2})^{μ(p,α_{2})} · . . . · (T − α_{r})^{μ(p,α_{r})}

mit ∑_{j=1}^{r} μ(p, α_{j}) = n = grad(p) (a ist der Leitkoeffizient von p). Die Formel (∗) besagt gerade, daß das Polynom p in Linearfaktoren zerfällt. \underline{BEM:} Natürlich gibt es eine im mathematischen Sinne exakte Einführung von Polynomen, bei der insbesondere die Unbestimmte T genau definiert wird. Dies geschieht in einer weiterführenden Algebra–Vorlesung.