Chr.Nelius : Lineare Algebra II (SS 2005) 1

Einschub A) Elementarmatrizen

Wir wollen hier eine Beschreibung des Gauß-Algorithmus mit Hilfe der sog. Elementarmatrizen vornehmen. \underline{(A.1) DEF:} Seien r, s ∈ IN mit 1 ≤ r ≤ m und 1 ≤ s ≤ n. Dann heißt die Matrix

E_{rs} = (δ_{ir}δ_{sk}) \begin{matrix}i = 1, 2, …, m \\ k = 1, 2, …, n \end{matrix} ∈ M_{m,n}(K)

eine (m × n)–Basismatrix. \underline{(A.2) BEM:} a) Die Matrix E_{rs} hat an der Stelle (r, s) eine 1 und sonst lauter Nullen.

E_{rs} = ( ⋮ ; … 1 …; 0 ⋮ ) ⟵ r–te Zeile

↑ s–te Spalte.

b) A = (a_{ik}) ∈ M_{m,n}(K) ⟹ A = ∑_{i=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} a_{ik}E_{ik}

c) E_{rs} · E_{tu} = δ_{st}E_{ru} = \{ \begin{matrix}O & für s ≠ t \\ E_{ru} & für s = t \end{matrix}

d) E_{rs} ∈ M_{m,n}(K) , A ∈ M_{n,p}(K) E_{rs} · A =

r → ( ⋮ ; … 1 …; 0 ⋮ ) · ( \begin{matrix}a_{11} & … & a_{1p} \\ ⋮ & & ⋮ \\ a_{n1} & … & a_{np} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}0 & … & 0 \\ a_{s1} & … & a_{sp} \\ 0 & … & 0 \end{matrix} ) ⟵ r–te Zeile.

↑ s–te Spalte

(d.h. E_{rs} · A hat die s–Zeile von A als r–te Zeile).

e) Analog hat die Produktmatrix A · E_{rs} die r–te Spalte von A als s–te Spalte und sonst lauter Nullen.

(A.3) DEF:

Elementarmatrizen

Seien i, k ∈ IN mit 1 ≤ i, k ≤ n und i ≠ k.

a) Die Matrix V_{ik} := E_{n} − E_{ii} − E_{kk} + E_{ik} + E_{ki} ∈ M_{n}(K) heißt Vertauschungsmatrix.

b) Für a ∈ K heißt A_{ik}(a) := E_{n} + aE_{ik} ∈ M_{n}(K) Additionsmatrix.

c) Für a ∈ K, \underline{a ≠ 0} heißt D_{i}(a) := E_{n} + (a − 1)E_{ii} ∈ M_{n}(K) Multiplikationsmatrix.

d) Eine Elementarmatrix in M_{n}(K) ist eine der in a) bis c) definierten Matrizen.

Ausführlicher geschrieben bedeutet dies in den drei Fällen:

a) Vertauschungsmatrizen:

V_{ik} = ( \begin{matrix}1 & 0 & & ⋮ & & & & ⋮ \\ 0 & ... & & ⋮ & & & & ⋮ \\ & & 1 & ⋮ & & & & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & 1 & 0 & ⋯ & ⋯ \\ & & & ⋮ & 1 & & & 0 \\ & & & ⋮ & & ... & & ⋮ \\ & & & 0 & & & 1 & ⋮ \\ ⋯ & ⋯ & 0 & 1 & 0 & ⋯ & ⋯ & 0 & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ & & & 0 & & & & ⋮ & 1 \\ & & & ⋮ & & & & ⋮ & & ... \\ & & & ⋮ & & & & ⋮ & & & 1 \end{matrix} ) ← i–te Zeile ; ← k–te Zeile

↑ ; i–te Spalte  ↑ ; k–te Spalte

b) Additionsmatrizen

A_{ik}(a) = ( \begin{matrix}1 & 0 & & ⋮ & & & & ⋮ \\ 0 & ... & & ⋮ & & & & ⋮ \\ & & 1 & ⋮ & & & & 0 \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & 1 & ⋯ & ⋯ & 0 & a & 0 & ⋯ & ⋯ \\ & & & ⋮ & & & & 0 \\ & & & ⋮ & & ... & & ⋮ \\ & & & ⋮ & & & 1 & ⋮ \\ ⋯ & ⋯ & ⋯ & & ⋯ & ⋯ & ⋯ & 1 & ⋯ & ⋯ & ⋯ \\ & & & ⋮ & & & & ⋮ & 1 \\ & & & ⋮ & & & & ⋮ & & ... \\ & & & ⋮ & & & & ⋮ & & & 1 \end{matrix} ) ← i–te Zeile ; ← k–te Zeile

↑ ; i–te Spalte  ↑ ; k–te Spalte

c) Multiplikationsmatrizen

D_{i}(a) = ( \begin{matrix}1 & 0 & & 0 & & & 0 \\ 0 & ... & & ⋮ \\ & & 1 & 0 & 0 \\ 0 & ⋯ & 0 & a & 0 & ⋯ & 0 \\ & & 0 & 0 & 1 \\ & & & ⋮ & & ... & 0 \\ 0 & & & 0 & & 0 & 1 \end{matrix} ) ← i–te Zeile

↑ ; i–te Spalte

\underline{Beispiele:} a) Vertauschungsmatrizen in M_{3}(IR):

V_{12} · A = ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}4 & 5 & 6 \\ 1 & 2 & 3 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

V_{12} · A entsteht aus A durch Vertauschen der ersten Zeile mit der zweiten Zeile.

A · V_{12} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}2 & 1 & 3 \\ 5 & 4 & 6 \\ 8 & 7 & 9 \end{matrix} )

A · V_{12} entsteht aus A durch Vertauschen der ersten Spalte mit der zweiten Spalte.

b) Additionsmatrizen in M_{3}(IR):

A_{13}(a) · A = ( \begin{matrix}1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 + a · 7 & 2 + a · 8 & 3 + a · 9 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

A_{13}(a) · A entsteht aus A durch Addition des a–fachen der dritten Zeile zur ersten Zeile.

A · A_{13}(a) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & a \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 1 · a + 3 \\ 4 & 5 & 4 · a + 6 \\ 7 & 8 & 7 · a + 9 \end{matrix} )

A · A_{13}(a) entsteht aus A durch Addition des a–fachen der ersten Spalte zur dritten Spalte. c) Multiplikationsmatrizen in M_{3}(IR):

D_{2}(a) · A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ a · 4 & a · 5 & a · 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

D_{2}(a) · A entsteht aus A durch Multiplikation der zweiten Zeile von A mit a.

A · D_{2}(a) = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 2 · a & 3 \\ 4 & 5 · a & 6 \\ 7 & 8 · a & 9 \end{matrix} )

A · D_{2}(a) entsteht aus A durch Multiplikation der zweiten Spalte von A mit a.

\underline{(A.4) SATZ:} a) Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix von links bewirkt eine elementare Zeilenumformung. Im einzelnen gilt:

V_{ik} · A Vertauschen der i–ten mit der k–ten Zeile von A

A_{ik}(a) · A Addition des a–fachen der k–ten Zeile von A zur i–ten Zeile von A

D_{i}(a) · A Multiplikation der i–ten Zeile von A mit a ≠ 0

b) Die Multiplikation einer Matrix A mit einer Elementarmatrix von rechts bewirkt eine elementare Spaltenumformung. Im einzelnen gilt:

A · V_{ik} Vertauschen der i–ten mit der k–ten Spalte von A

A · A_{ik}(a) Addition des a–fachen der i–ten Spalte von A zur k–ten Spalte von A

A · D_{i}(a) Multiplikation der i–ten Spalte von A mit a ≠ 0

\underline{(A.5) SATZ:} Eine Elementarmatrix aus M_{n}(K) ist invertierbar. Ihr Inverses ist wieder eine Elementarmatrix.

Im einzelnen gilt: V_{ik}^{−1} = V_{ik} , A_{ik}(a)^{−1} = A_{ik}(−a) , D_{i}(b)^{−1} = D_{i}(b^{−1}) (b ≠ 0)

Wir wissen, daß sich jede Matrix durch elementare Zeilenumformungen auf Treppenform transformieren läßt. Dies können wir jetzt folgendermaßen formulieren:

\underline{(A.6) SATZ:} Zu jeder Matrix A ∈ M_{m,n}(K) mit A ≠ O gibt es eine invertierbare Matrix P ∈ GL_{m}(K) mit

P · A = T (A)

Dabei ist P ein Produkt von Elementarmatrizen.

Bew: Durch elementare Zeilenumformungen kann A auf Treppenform transformiert werden. Jeder elementaren Zeilenumformung entspricht die Linksmultiplikation mit einer geeigneten Elementarmatrix. Also gibt es Elementarmatrizen G_{1}, G_{2}, …, G_{s} ∈ GL_{m}(K) mit

(\underbrace{G_{s} · . . . · G_{2} · G_{1}}_{=:P}) · A = T (A) ,

wobei T (A) eine Treppenmatrix ist. Das Produkt invertierbarer Matrizen ist wieder invertierbar, d.h. P ∈ GL_{m}(K).

\underline{Beispiel:}

Zu der (4 × 6)–Matrix B := ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 & −1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & −1 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & −1 & 2 & 5 \end{matrix} ) ∈ M_{4,6}(IR).

gibt es ein Produkt Q von Elementarmatrizen, die elementaren Zeilenumformungen entsprechen, so daß gilt:

Q · B = (\underbrace{D_{3}(−1) · A_{43}(1) · A_{23}(1) · A_{13}(1) · A_{42}(−1) · A_{32}(−2) · A_{12}(1) · A_{31}(−2) · V_{12}}_{=:Q}) · B =

( \begin{matrix}0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & −1 & 0 & −1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{matrix} ) = T (B).

Wir kommen nun zu einer Charakterisierung von invertierbaren Matrizen, die insbesondere zu einem Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix führt.

\underline{(A.7) SATZ:} Für eine Matrix A ∈ M_{n}(K) sind folgende Aussagen äquivalent:

a) A ist invertierbar

b) rg(A) = n

c) T (A) = E_{n} (Einheitsmatrix)

d) A ist ein Produkt von Elementarmatrizen.

\underline{Bew:} \underline{a) ⟹ b)} Die durch A definierte lineare Abbildung f_{A} : K^{n} ⟶ K^{n} ist ein Isomorphismus, hat also den Rang n. Folglich rg(A) = rg_{K}(f_{A}) = n.

\underline{b) ⟹ c)} Ist rg(A) = n so besteht T (A) aus den n Einheitsvektoren, ist also die Einheitsmatrix.

\underline{c) ⟹ d)} Es gibt Elementarmatrizen G_{1}, …, G_{s} ∈ GL_{n}(K) mit (G_{s} · . . . · G_{1}) · A = T (A) = E_{n}. Folglich ist A = G_{1}^{−1} · . . . · G_{s}^{−1} nach (A.5) ein Produkt von Elementarmatrizen.

\underline{d) ⟹ a)} A ist als Produkt von invertierbaren Elementarmatrizen selbst auch invertierbar.

(A.8) Ein Verfahren zur Berechnung der inversen Matrix

Sei A ∈ GL_{n}(K). Durch elementare Zeilenumformungen kann A auf Treppenform gebracht werden. Da A invertierbar ist, gilt T (A) = E_{n}. Es gibt also ein Produkt P von Elementarmatrizen, die den elementaren Zeilenumformungen entsprechen, mit der Eigenschaft

P · A = T (A) = E_{n}

Daraus folgt A^{−1} = P = P · E_{n}

Man erhält also die inverse Matrix A^{−1}, indem man die elementaren Zeilenumformungen, die A auf Treppenform bringen, gleichzeitig auf die Einheitsmatrix anwendet.

\underline{Beispiel:} Sei A := ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} ) ∈ M_{3}(IR)

A  E_{3}
1 1 1  1  0 0
−1 0 1  0  1 0
2 1 1  0  0 1
1 1 1  1  0 0
0 1 2  1  1 0
0 −1 −1 −2  0 1
1 0 −1  0 −1 0
0 1 2  1  1 0
0 0 1 −1  1 1
1 0 0 −1  0 1
0 1 0  3 −1 −2
0 0 1 −1  1 1
E_{3}  A^{−1}

Probe: ( \begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ −1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{matrix} ) · ( \begin{matrix}−1 & 0 & 1 \\ 3 & −1 & −2 \\ −1 & 1 & 1 \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )