3. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Mittwoch, 4.5.2005, bis 15.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

9. Aufgabe: (G, ⋆) sei eine Gruppe.

a) Beweise, daß eine Teilmenge U ⊆ G genau dann eine Untergruppe von (G, ⋆) ist, wenn die beiden folgenden Bedingungen erfüllt sind: i) U ≠ ∅ , ii) ∀ a, b ∈ U : a ⋆ \overline{b} ∈ U .

b) Beweise, daß der Durchschnitt zweier Untergruppen U und V von (G, ⋆) wieder eine Untergruppe von (G, ⋆) ist.

c) Untersuche, ob die Vereinigung zweier Untergruppen von (G, ⋆) wieder eine Untergruppe von (G, ⋆) sein muß . Wenn nicht, finde eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür und beweise diese. (5)

10. Aufgabe: Stelle alle möglichen Gruppentafeln für eine Gruppe mit 4 Elementen auf. Welche gruppentheoretische Eigenschaft läßt sich daraus für jede Gruppe mit 4 Elementen ablesen ? (3)

11. Aufgabe: a) Beweise, daß die Menge A := A(M, IR) (∅ ≠ M ⊆ IR) aller Abbildungen (Funktionen) von M nach IR ein kommutativer Ring ist. Dabei sind die Verknüpfungen argumentweise definiert. Bestimme alle Einheiten in dem Ring A. Ist A nullteilerfrei ?

b) Es sei N eine beliebige nichtleere Menge. Auf der Menge P(N) sei die Verknüpfung ⋆ aus Aufg. 5b) die Addition und die Durchschnittsbildung die Multiplikation. Beweise, daß (P(N), ⋆, ∩) ein kommutativer Ring ist. Bestimme alle Einheiten in diesem Ring. Ist dieser Ring nullteilerfrei ? (8)

*12. Aufgabe: a) (G, ⋆) sei eine Gruppe. mit a ⋆ a = e für alle a ∈ G. Beweise, daß (G, ⋆) eine abelsche Gruppe ist.

b) Es sei H eine nichtleere endliche Menge mit einer assoziativen Verknüpfung ⋆. In (H, ⋆) sollen die Kürzungsregeln gelten. Beweise, daß (H, ⋆) eine Gruppe ist.

Hinweis: Für jedes a ∈ H gilt H = {a ⋆ x | x ∈ H} (wieso?) (3*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris