11. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA II (SS 2005)

Abgabe: Donnerstag, 30.6.2005, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1+4 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 2+3 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

47. Aufgabe: Berechne die Determinanten der folgenden Matrizen über C:

a) A = ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & 0 & 0 & 1 \\ 4 & 5 & 6 & 7 \\ 2 & 2 & 3 & 4 \end{matrix} )  b) B = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 0 & 4 & 0 \\ 4 & 0 & 0 & 3 & 0 \\ 0 & 4 & 4 & 0 & 4 \\ 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \end{matrix} )  c) C = ( \begin{matrix}1 & i & −i \\ 0 & −1 & 2i \\ 1 + i & 0 & 1 \end{matrix} )

(4)

48. Aufgabe: Seien n ≥ 1 und x_{1}, …, x_{n} ∈ K. Die Matrix C_{n+1} = (c_{ik}) ∈ M_{n+1}(K) sei

definiert durch c_{ik} := \{ \begin{matrix}1 + x_{i−1} & für i = k ≥ 2 \\ 1 & sonst \end{matrix} Beweise: det(C_{n+1}) = ∏_{i=1}^{n} x_{i} für alle n ≥ 1 .

(3)

49. Aufgabe: Zeige ohne Benutzung von Entwicklungsformeln:

\begin{matrix}1 & 1 & 1 & −3 \\ 1 & 1 & −3 & 1 \\ 1 & −3 & 1 & 1 \\ −3 & 1 & 1 & 1 \end{matrix} = 0

(2)

50. Aufgabe: a) Berechne die Determinanten der Elementarmatrizen aus Definition (A.3) .

b) Beweise (19.19) aus der Vorlesung .

c) Sei A = (a_{ik}) ∈ M_{n}(K) eine obere Dreiecksmatrix. Berechne det(A) .

d) Sei A ∈ M_{n}(K) . Beweise, daß man mit Hilfe des Gauß –Algorithmus eine Produktdarstellung A = P · B erhält, wobei P ein Produkt von Vertauschungs– und Additionsmatrizen (aber nicht von Multiplikationsmatrizen) ist und B eine obere Dreiecksmatrix ist. Beweise: det(A) = (−1)^{k} · det(B) . Wodurch ist k bestimmt?

e) Überlege dir (informell), wieviele Rechenoperationen (Multiplikationen und Additionen) die Berechnung der Determinante einer (n × n)–Matrix mit Hilfe der Laplace’schen Entwicklungsformel benötigt. Vergleiche das Ergebnis mit der Anzahl der Rechenoperationen, die bei dem in d) angegebenen Verfahren erforderlich sind. (7)

*51. Aufgabe: Sei A ∈ M_{n}(K) eine “Blockmatrix” der Form

A = ( B_{1} ⋆ ; B_{2} ; ... ; 0 B_{r} )

wobei B_{i} eine (m_{i} × m_{i})–Matrix ist (r ≥ 1 , i = 1, …, r) und ∑_{i=1}^{r} m_{i} = n gilt. Beweise:

det(A) = ∏_{i=1}^{r} det(B_{i})

(4*)

Internet: http://math–www.uni–paderborn.de/˜ chris

Klausurtermin: 26.7.2005, 8.30–11.30 Uhr