Chr.Nelius: Lineare Algebra I (WS 2004/05) 1. Kapitel

Zusammenfassung

1) Die Vektoren des Anschauungsraumes A lassen sich addieren und mit reellen Zahlen multiplizieren. Das Ergebnis ist jeweils wieder ein Vektor aus A. Dafür gelten die Rechenregeln A_{0}) bis A_{4}) und SM_{0}) bis SM_{4}), so daß (A, +, ·_{IR}) ein Vektorraum über dem Körper der reellen Zahlen ist.

2) In A gibt es 3 linear unabhängige Vektoren, und je 4 oder mehr Vektoren sind linear abhängig, d.h. 3 ist die Maximalzahl linear unabhängiger Vektoren in A . A ist ein Vektorraum der Dimension 3 oder ein 3–dimensionaler Vektorraum.

3) Sind v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} 3 linear unabhängige Vektoren in A , so läßt sich jeder Vektor aus A als Linearkombination von v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} mit eindeutig bestimmten Koeffizienten darstellen. Man bezeichnet v⃗_{1}, v⃗_{2}, v⃗_{3} als eine Basis des Vektorraumes A . Jede Basis von A besteht aus genau 3 linear unabhängigen Vektoren.

4) Geraden durch den Nullpunkt und Ebenen durch den Nullpunkt erfüllen jeweils für sich betrachtet auch die Eigenschaften eines reellen Vektorraumes. Man bezeichnet sie als Unterräume von A .

5) Auf A gibt es ein inneres Produkt, das je zwei Vektoren eine reelle Zahl zuordnet. Es erfüllt die Eigenschaften SP_{1}) bis SP_{3}) . Damit können die Länge eines Vektors und der Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmt werden. Mit Hilfe des inneren Produktes lassen sich geometrische Phänomene wie die Orthogonalität beschreiben.

6) Das äußere Produkt zweier Vektoren ist wieder ein Vektor. Es erfüllt die Eigenschaften VP_{1}) bis VP_{3}) . Mit Hilfe des äußeren Produktes läßt sich die Parallelität zweier Vektoren feststellen.

7) Das Spatprodukt dreier Vektoren ist eine reelle Zahl. Mit seiner Hilfe läßt sich feststellen, ob drei Vektoren linear unabhängig sind oder nicht. Es ist ein Spezialfall der sog. Determinante.

8) Bezüglich eines fest gewählten rechtwinkligen Koordinatensystems (das ist ein Orthonormalsystem) läßt sich jeder Vektor in eindeutiger Weise durch seine Koordinaten beschreiben. Die oben beschriebenen Rechenoperationen und Produktbildungen können alle in Koordinaten ausgedrückt werden. Damit lassen sich dann geometrische Phänomene rechnerisch behandeln.