9. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 16.12.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

29. Aufgabe: Löse folgende Gleichungssysteme:

a) \begin{matrix}x_{1} & + & 4x_{2} & + & 3x_{3} & = & 21 \\ & & x_{2} & + & 3x_{3} & = & 5 \\ −2x_{1} & + & −4x_{2} & + & 27x_{3} & = & 20 \end{matrix}  b) \begin{matrix}\sqrt{3}x_{1} & + & 2x_{2} & + & \sqrt{5}x_{3} & = & 2 \\ −\frac{\sqrt{3}}{2}x_{1} & − & \frac{1}{2}x_{2} & + & x_{3} & = & 0 \\ & − & x_{2} & − & (2 + \sqrt{5})x_{3} & = & 0 \end{matrix}

c) \begin{matrix}2x_{1} & + & 3x_{2} & + & 4x_{3} & + & x_{4} & = & 2 \\ & & x_{2} & + & x_{3} & + & x_{4} & = & 2 \\ −4x_{1} & − & 5x_{2} & − & 7x_{3} & − & x_{4} & = & −2 \\ 3x_{1} & + & 4x_{2} & + & \frac{11}{2}x_{3} & + & x_{4} & = & 2 \end{matrix}

(6)

30. Aufgabe: Die Menge M_{m,n}(IR) der (m × n)–Matrizen hat die natürliche Struktur eines Vektorraumes. Überzeuge dich davon durch die Überprüfung folgender Vektorraumeigenschaften (siehe auch Definition (4.3) aus der Vorlesung):

a) (A1) Für je zwei Matrizen M_{1}, M_{2} gilt: M_{1} + M_{2} = M_{2} + M_{1}.

b) (A4) Zu jeder Matrix M existiert eine Matrix M′, so daß M + M′ = 0, wobei 0 = ( ⋮ ⋮_{0 ... 0}^{0 ... 0} )

die (m × n)–Nullmatrix ist.

c) (SM2) Für zwei reelle Zahlen a, b und eine Matrix M gilt: (a + b)M = aM + bM.

Freiwillige Zusatzaufgabe: überzeuge dich davon, daß auch die Eigenschaften (A2), (A3), (SM1), (SM3), und (SM4) erfüllt sind. (4)

31. Aufgabe: Gegeben seien folgende (2 × 2)–Matrizen:

M_{1} = (\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , M_{2} = (\begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix}) , M_{3} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix}) , M_{4} = (\begin{matrix}0 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}) .

a) Zeige, daß die Matrizen M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} im Vektorraum M_{2}(IR) linear unabhängig sind.

b) Zeige, daß sich jede (2 × 2)–Matrix eindeutig als Linearkombination von M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} darstellen läßt.

Die Matrizen M_{1}, M_{2}, M_{3}, M_{4} bilden somit eine Basis des Vektorraums M_{2}(IR) .

(4)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris