8. Übungsblatt

LINEARE ALGEBRA I (WS 2004/05)

Abgabe: Do. 9.12.2004, bis 13.00 Uhr

Gruppen 1–3 : Fach Nr. 11 (orangener Schrank Ebene D1)

Gruppen 4–5 : Fach Nr. 13 (orangener Schrank Ebene D1)

Schreiben Sie auf die erste Seite gut leserlich Namen, Vornamen, Matrikel–Nr. und Nr. Ihrer Übungsgruppe. Heften Sie die Seiten zusammen!

25. Aufgabe: Berechne das Spatprodukt (a⃗, b⃗, c⃗) für die folgenden Vektoren:

\begin{matrix}a) a⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ √ & \overline{3} \\ 0 \end{matrix} ) , b⃗ = ( \begin{matrix}√ & \overline{3} \\ 3+4\sqrt{2} \\ 1 \end{matrix} ) , c⃗ = ( \begin{matrix}3\sqrt{3} \\ −17 \\ 2\sqrt{2} \end{matrix} ) & b) a⃗ = ( \begin{matrix}5 \\ 0 \\ − \frac{1}{121} \end{matrix} ) , b⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 121 \\ 0 \end{matrix} ) , c⃗ = ( \begin{matrix}104 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) \\ c) a⃗ = ( \begin{matrix}20 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) , b⃗ = ( \begin{matrix}7,2564 \\ 10 \\ 0 \end{matrix} ) , c⃗ = ( \begin{matrix}−3,5 \\ 8,3 \\ 23,555 \end{matrix} ) \end{matrix} (3)

26. Aufgabe: Gegeben sind zwei Geraden, G_{1} : x⃗ = 0 + ra⃗, G_{2} : x⃗ = b⃗ + sc⃗, r, s ∈ IR, wobei

a⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ), b⃗ = ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ), c⃗ = ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ −1 \end{matrix} ).

a) Zeige, daß die Geraden G_{1} und G_{2} sich nicht schneiden und nicht parallel sind.

b) Berechne e⃗ := \frac{a⃗×c⃗}{∥a⃗×c⃗∥}.

c) Finde α, t, β ∈ IR , so daß αa⃗ + te⃗ = b⃗ + βc⃗ gilt.

d) Der Wert t ∈ IR aus Teil c) ist der minimale Abstand der Geraden G_{1} und G_{2}. Veranschauliche dies mit Hilfe einer Skizze (kein Beweis!). (4)

27. Aufgabe: Sei E eine Ebene, die den Nullpunkt 0 enthält. In Hessescher Normalform sei diese Ebene gegeben durch 0 und einen Stellungsvektor e⃗. Für jeden Vektor v⃗ ist seine Spiegelung an der Ebene E definiert als S_{E}(v⃗) := v⃗ − 2⟨v⃗, e⃗⟩e⃗.

a) Veranschauliche S_{E}(v⃗) mit Hilfe einer Skizze.

b) Zeige, daß für alle Vektoren v⃗ gilt: S_{E}(S_{E}(v⃗)) = v⃗.

c) Bestimme alle Vektoren v⃗, für die S_{E}(v⃗) = v⃗ gilt. Begründe deine Antwort. (5)

28. Aufgabe: Sei e⃗_{1}, e⃗_{2}, e⃗_{3} ein Orthonormalsystem . Für jedes i ∈ {1, 2, 3} sei eine Ebene E_{i} in Hessescher Normalform gegeben, die jeweils den Nullvektor 0 enthält und deren Stellungsvektor e⃗_{i} ist. Zu jeder der Ebenen E_{i} gibt es wie in Aufgabe 27 eine Spiegelung, die wir mit S_{i} bezeichnen (anstelle von S_{E_{i}} – wir vereinfachen hier die Notation etwas).

a) Zeige: Für beliebige i, j ∈ {1, 2, 3}, die nicht notwendigerweise verschieden sind, gilt S_{i}(S_{j}(v⃗)) = S_{j}(S_{i}(v⃗)) für alle Vektoren v⃗.

b) Sei v⃗ ein Vektor, der in keiner der drei Ebenen E_{i} enthalten ist. In wie viele Vektoren kann v⃗ durch beliebiges mehrfaches Anwenden der Spiegelungen S_{1}, S_{2}, S_{3} überführt werden (hierbei ist v⃗ als seine ”triviale” Spiegelung mitzuzählen)? (4)

Internet: http://math-www.uni-paderborn.de/˜ chris